[size=85][url=https://www.geogebra.org/search/Szilassi%20Lajos]Dr. Szilassi Lajos tanár úr [/url]egy régi évfolyamtársa, Kardos Lajos hívta fel a figyelmünket egy érdekes cikkre, ami 2014. 02. 26-án jelent meg a [url=https://math.bme.hu/]BME[/url] [url=http://math.bme.hu/~hujter/halad.htm]Haladvány Kiadvány[/url]ában, és amelynek szerzője [url=https://det.math.bme.hu/hujter-mihaly]Hujter Mihály[/url]. A cikk címe: [url=http://math.bme.hu/~hujter/140226.pdf]Talpalattnyi arányosság[/url].[br]Az írás szerzője egy 1936. márciusában megjelent KöMaL feladat kapcsán emlékezik meg egy kiváló szerzetes tanár, [url=https://hu.wikipedia.org/wiki/Endr%C3%A9dy_Vendel]Endrédy Vendel (sz. Hadarits Kálmán)[/url] munkásságáról, annak neves tanítványairól. A cikket nyomatékosan ajánlhatjuk elolvasásra.[br][br]A probléma ami a cikkben megjelenik így fogalmazható meg:[br][/size][size=85]Adjuk meg egy hegyesszögű háromszögben a talpponti háromszög és a hegyesszögű háromszög területének arányát a háromszög két szögének felhasználásával![br]Hujter Mihály közöl egy megoldást, miszerint e keresett arány:[br][center][math]2\cdot cos\alpha\cdot cos\beta\cdot cos\left\langle\pi-\alpha-\beta\right\rangle[/math][/center][/size][size=85]Ezt az arányt nevezte a szerző Vendel koronájának.[br][/size][br][size=85][url=https://hu.wikipedia.org/wiki/Szilassi_Lajos]Dr. Szilassi Lajos tanár úr[/url] is adott egy megoldást, ezt mutatja a következő GeoGebra fájl.[/size]

[size=85]Nem túl didaktikus módszer az, hogy egy egyszerűbb megoldás után egy bonyolultabbat mutatunk. Most mégis ezt tesszük, hogy miért, az talán az olvasó számára ki fog derülni.[/size]

[size=85]A számolás végigkövethető ebben a GeoGebra CAS fájlban:[/size]

[size=85]Látható, hogy a három bizonyítás három "különböző" trigonometrikus kifejezést adott eredményül. Ha mindegyik jó, akkor ezeknek egyenlőknek kell lenniük. Nézzük meg, hogy mit mond erről a GeoGebra CAS![/size]

[size=85]Úgy tűnik, hogy a három kapott kifejezés egyenlő. A pontos igazolás "lélekemelő" trigonometriai gondolatmeneteket igényel, ezeknek megalkotását az olvasóra bízzuk.[br][br][/size][size=85]Ezek után felmerülhet az a kérdés, hogy a Vendel koronája arány hogyan változik az [math]\alpha[/math][/size] [size=85]és [math]\beta[/math] [/size][size=85]szögek függvényében. Az ezt leíró kétváltozós függvény grafikonja az alábbi képen látható.[/size]

[size=85]Ennek a kétváltozós függvénynek a szélsőértékét az alábbi GeoGebra CAS fájl adja meg. [/size]

[size=85]Kaptuk, hogy a területarány szabályos háromszög esetében maximális, az értéke ez esetben [math]\frac{1}{4}[/math][/size].

[size=85]A[url=https://www.geogebra.org/m/atwusamx] Vendel koronája [/url]arány tanulmányozása után természetesnek tűnik, hogy továbblépjünk az itt megkezdett irányba, vizsgáljunk hasonló arányokat.[br][/size][size=85]Egy lehetőség az, hogy adjuk meg egy háromszög két szögének segítségével a háromszögbe írt kör érintési pontjai által meghatározott háromszög és az adott háromszög területének arányát.[br][/size][size=85]A fent említett anyagban látott[url=https://www.geogebra.org/u/szilassi] Dr. Szilassi Lajos tanár úr [/url]féle megoldási módszer itt is használható, ha felhasználjuk az alábbiakat:[/size]

[size=85]A számolást az alábbi GeoGebra CAS fájl mutatja.[/size]

[size=85]A kapott területarányt az [math]\alpha[/math][/size] [size=85]és [math]\beta[/math] függvényében egy[/size][size=85] (kétváltozós) függvény, aminek grafikonja:[/size]

[size=85]A fenti függvény szélsőértékének keresése elvégezhető a GeoGebra-CAS-mel:[/size]

[size=85]Azt kaptuk itt is, hogy a vizsgált területarány akkor maximális, ha [math]\alpha=\beta=\frac{\pi}{3}[/math][/size], [size=85]azaz szabályos háromszögben.[br][br][/size][size=85]A továbblépés az lehet, hogy a háromszög hozzáírt köreinek az oldalakkal vett érintési pontjai által meghatározott háromszög esetén végzünk hasonló vizsgálatokat. Ekkor felhasználhatók a következők:[/size]

[size=85]Számoljunk a GeoGebra CAS-mel! Mit tapasztalunk?[/size]

[size=85]Következzen még egy GeoGebra fájl:[/size]

[size=85]Az gyanítottam, hogy e két háromszög területének egyenlősége csak számomra meglepetés. [url=http://www.math.u-szeged.hu/~akunos/]Kunos Ádám[/url] küldött két linket:[br][list][*][url=https://en.wikipedia.org/wiki/Incircle_and_excircles_of_a_triangle#Gergonne_triangle_and_point]1[/url].[/*][*][url=https://en.wikipedia.org/wiki/Extouch_triangle]2.[/url][/*][/list]Érdemes tanulmányozni ezeket az oldalakat is.[br][/size]