Volumeberekening bij omwentelingslichamen

De inhoud berekenen van een lichaam dat ontstaan is door een vlakdeel te wentelen rond een rechte m.b.v. cilindermethode.[br]Algemene formule voor wenteling rond de x-as: [math]V=\pi·\int_{a}^{b}{\left [ f(x) \right ]^2dx=\pi·\int_{a}^{b}{y^2}dx[/math]

Oefeningen

1. Bepaal het volume dat bekomen wordt door het vlakdeel in het eerste kwadrant begrensd door [math]y^2=8x[/math] en [math]x=2[/math] te wentelen rond de x-as

2. Bepaal het volume dat bekomen wordt door het vlakdeel begrensd door [math]y^2=8x[/math] en [math]x=2[/math] te wentelen rond de rechte [math]x=2[/math]

3. Bepaal het volume dat bekomen wordt door het vlakdeel begrensd door [math]y^2=8x[/math] en [math]x=2[/math] te wentelen om de y-as

4. Bepaal het volume dat bekomen wordt door het vlakdeel begrensd door [math]y=4x-x^2[/math] en de x-as te wentelen rond de rechte y=6

Oefening 1

Het gebied begrensd door [math]y=\sqrt{x},\;y=0\;en\;x=4[/math] wordt gewenteld om de y-as. Welke van de volgende bepaalde integralen geeft het resulteerde volume weer?

[math]\int_{0}^{4}\pi (16-y^4)dy[/math] [math]\int_{0}^{4}\pi (4-y^2)^2dy[/math] geen enkel gegeven antwoord is correct [math]\int_{0}^{2}\pi (16-y^4)dy[/math] [math]\int_{0}^{2}\pi (4-y^2)^2dy[/math]

Oefening 2

Het gebied begrensd door [math]y=\frac{1}{\sqrt{x}},\;x=1,\;x=3[/math] wordt gewenteld om de x-as. Het bekomen volume is:

[math]\pi(\ln(3)-e)[/math] [math]\pi\ln(3)[/math] [math]\pi(2\sqrt{3}-2)[/math] geen enkel gegeven antwoord is correct [math]\pi(\sqrt{3}-1)[/math]

Oefening 3

Het gebied begrensd door de krommen y=x² en y=x wordt gewenteld om de x-as. Het volume van dit omwentelingslichaam bedraagt:

[math]\frac{\pi}{3}[/math] [math]\frac{2\pi}{5}[/math] [math]\frac{2\pi}{15}[/math] [math]\frac{\pi}{12}[/math] [math]\frac{\pi}{15}[/math]

Oefening 4

Beschouw het gebied begrensd door de krommen y=5x-x² en y=5-x. Geef de bepaalde integraal die het volume weergeeft dat bekomen wordt door het gegeven gebied te wentelen rond de rechte y=8