KFTG: Trigonometrische Funktionen
In diesem Lernpfad lernen Sie eine weitere Kategorie von Funktionen kennen: [b]Trigonometrische Funktionen[/b] Dazu gehören Sinus, Cosinus und Tangens. Sie werden [list] [*]die Definition von Sinus, Cosinus und Tangens im rechtwinkeligen Dreieck und anschließend mithilfe des Einheitskreises wiederholen, [*]das Bogenmaß wiederholen, [*]herausfinden, wie die Graphen der Funktionen Sinus, Cosinus und Tangens aussehen, [*]mit der Veränderung der Funktionsgraphen experimentieren, [*]die Periodenlänge und Amplitude kennenlernen und [*]sich mit einigen Anwendungen auseinandersetzen [/list] Ihren Lernweg in Form von Notizen und Übungen halten Sie in einer Dokumentation fest. Erstellen Sie diese im Mathe-OneNote. Die Gestaltung bleibt Ihnen überlassen. Diese Dokumentation soll Ihren individuellen Lernprozess abbilden. Sie muss nicht fehlerfrei sein. Allerdings soll gut zu erkennen sein, dass Sie sich intensiv mit dem Kapitel trigonometrische Funktionen und den gegebenen Aufgaben auseinandergesetzt haben. [b]ABGABETERMIN: 08.05.2024 09:25[/b] Viel Spaß beim Erarbeiten, Verstehen und Üben.
Table of Contents
- Wiederholungen
- Sinus, Kosinus und Tangens in rechtwinkeligen Dreiecken
- Der Einheitskreis
- Bogenmass wiederholen
- Sinus-, Cosinus- und Tangensfunktion
- Erweiterung von Sinus, Cosinus und Tangens
- Die Winkelfunktionen
- Periodizität
- Allgemeine Sinus- und Cosinusfunktion der Form f(x)=a*sin(b*(x+c))
- Beispiele
- Einfluss der Parameter a und b
- Übungen zu den Parametern a und b
- Verschiebung in x-Richtung und Zusammenhang zwischen Cosinus und Sinus
- Harmonische Schwingung
- Harmonische Schwingungen: Wichtige Begriffe
- Grafische Darstellung harmonischer Schwingungen
- Informationen aus Funktionsgleichungen lesen
Sinus, Kosinus und Tangens in rechtwinkeligen Dreiecken
Aufgaben:
[list][*]Wiederholen Sie die Definition von Sinus, Cosinus und Tangens in rechtwinkeligen Dreiecken anhand der obigen Skizze.[u][b][/b][/u][br]Machen Sie einen Eintrag in Ihrer Dokumentation mit einer Skizze.[b][u][/u][/b][br][/*][/list]
Erweiterung von Sinus, Cosinus und Tangens
Information
In rechtwinkeligen Dreiecken konnten wir Sinus, Cosinus und Tangens für Winkel zwischen 0° und 90° definieren. Mithilfe des Einheiltskreises haben wir eine Möglichkeit bekommen, Sinus, Cosinus und Tangens für alle Winkel von 0° bis 360° zu berechnen.[br][br]Es ist nun naheliegend, die Winkelfunktionen - wenn möglich - auf die ganze Menge [math]\mathbb{R}[/math] zu erweitern.[br][br]Was versteht man aber unter einem Winkel [math]\alpha[/math]=400° oder [math]\beta[/math]=-45°?[br][br]Die Bewegung des Punktes entlang des Einheiskreises kann man mit einem Winkel beschreiben. Bei 400° durchläuft der Punkt gegen den Uhrzeigersinn einmal komplett die Kreislinie und bewegt sich anschließend um 40° weiter. Es gilt also sin(400°)=sin(40°). [br][br]Bei -45° bewegt sich der Punkt um 45° im Uhrzeigersinn. Es gilt also sin(-45°)=sin(315°) Man kann dieses Prinzip natürlich auch auf Winkel im Bogenmaß anwenden
Mit diesem Applet könne Sie kontrollieren, ob Sie die Inhalte richtig verstanden haben.
Aufgaben
[list][*]Übertragen Sie die Zusammenhänge im gelben Kästchen in die Dokumentation.[/*][*]Stellen Sie Ihren Taschenrechner auf das Bogenmaß um. Sie finden die Umstellung unter mode. DEG steht für degree, also Grad. RAD steht für Radiant, was die Einheit vom Bogenmass ist. Achtung: Die Einstellung GRAD steht für Neugrad (Ein Vollkreis hat mit dieser Einheit 400 Gon (Gon Einheit von Neugrad)).[br][/*][*]Berechnen Sie [math]sin\left(\frac{\pi}{2}\right)[/math], [math]sin\left(\frac{5\pi}{2}\right)[/math], [math]sin\left(\frac{9\pi}{2}\right)[/math] und [math]sin\left(-\frac{3\pi}{2}\right)[/math]. Vergleichen Sie die Ergebnisse und erklären Sie diese anhand einer Skizze.[br][/*][*]Berechnen Sie [math]cos\left(\frac{\pi}{3}\right)[/math], [math]cos\left(\frac{7\pi}{3}\right)[/math] und [math]cos\left(-\frac{5\pi}{3}\right)[/math]. Vergleichen Sie die Ergebnisse und erkläre Sie diese anhand einer Skizze.[br][/*][/list]
Beispiele
In diesem Kapitel untersuchen Sie, wie sich der Graph der Sinus- und Cosinusfunktion ändert, wenn die Funktionsgleichung durch Parameter erweitert wird.[br]
AUFGABE:
[list][*]Zeichnen Sie die Graphen der Funktionen f, g, h und i in dasselbe Koordinatensystem[/*][*][math]f(x)=sin(x)[/math][br][math]g(x)=2\cdot sin\left(x\right)[/math][br][math]h(x)=sin(2\cdot x)[/math][br][math]i(x)=-sin(x)[/math][/*][*]Erklären Sie, welche Zusammenhänge zwischen den Graphen der Funktionen von f, g, h und i erkennbar sind.[/*][*]Wie oft schwingt der Graph von g, h und i im Intervall [math]\left[0;2\pi\right][/math]?[/*][/list]
Harmonische Schwingungen: Wichtige Begriffe
Faszinierender Weise eignen sich die Winkelfunktionen, die ursprünglich aus rein geometrischen Überlegungen entstanden sind, hervorragend für die Erfassung vieler periodischer Vorgänge in der Natur und Mechanik. Dazu zählen vor allem Schwingungen und Wellen.[br]Der sogenannte [url=https://www.youtube.com/watch?v=U4g4ZxrqQYc]Sinustons[/url] bildet die Basis für alle Klänge. Der charakteristische Klang eines Musikinstruments entsteht als Summe unterschiedlicher Sinustöne (Grundton, Obertöne).[br]
Aufgabe
Recherchieren Sie folgende Begriffe. Notieren Sie sich ihre Bedeutung und ihre üblichen Einheiten in der Dokumentation. Fertigen Sie eine Skizze an, falls dies sinnvoll ist.[br][list][*]Federpendel[/*][*]Harmonische Schwingung[/*][*]Elongation eines Federpendels[/*][*]Amplitude (A)[br][/*][*]Schwingungsdauer/Periodendauer (T)[br][/*][*]Frequenz (f)[br][/*][*]Zusammenhang zwischen Schwingungsdauer und Frequenz[/*][/list]Kontrollieren Sie, ob Sie alle Inhalte gut verstanden haben, indem Sie die [u][b][url=http://www.elektrotechnik-fachwissen.de/wechselstrom/test-periodendauer-frequenz.php]Testfragen zu Periodendauer und Frequenz[/url][/b][/u] sowie die [u][b][url=http://www.elektrotechnik-fachwissen.de/wechselstrom/test-periodendauer-frequenz-aufgaben.php]Übungsaufgaben[/url][/b][/u] machen.