Vitor Souza, Aug 8, 2023

Este livro contém os applets prontos das atividades utilizadas na Dissertação de mestrado do Profmat intitulada: As contribuições da geometria dinâmica no processo de ensino e aprendizagem de geometria espacial através do software Geogebra 3D e de atividades investigativas do autor Vitor da Costa Souza. O diferencial deste trabalho está em propor atividades que permitam a investigação matemática, a qual reside na promoção de uma abordagem mais dinâmica e significativa para o aprendizado da matemática. Em vez de apenas fornecer fórmulas e conceitos prontos, a ênfase é colocada na exploração ativa, na descoberta e na construção do conhecimento por meio da investigação. Essas atividades envolvem desafios e problemas que incentivam os alunos a pensar criticamente, a experimentar diferentes abordagens e a desenvolver suas próprias estratégias de resolução. Ao propor atividades de investigação matemática, os alunos são estimulados a fazerem perguntas, a explorar padrões, a fazer conjecturas e a testar suas hipóteses, o que ajuda a desenvolver não apenas suas habilidades de resolução de problemas, mas também sua capacidade de raciocínio lógico e sua criatividade matemática. Além disso, essa abordagem promove uma compreensão mais profunda dos conceitos matemáticos, uma vez que os alunos estão envolvidos ativamente na construção do conhecimento, em vez de apenas memorizá-lo. Outro aspecto importante é que as atividades de investigação matemática incentivam a colaboração e a comunicação entre os alunos, pois muitas vezes envolvem trabalhar em grupos para discutir ideias, compartilhar estratégias e resolver problemas em conjunto. Isso não apenas promove um ambiente de aprendizado colaborativo, mas também ajuda os alunos a desenvolver habilidades interpessoais essenciais.

Neste capítulo trabalharemos os dois postulados da existência, são eles: [list] [*] Em uma reta e fora dela existem infinitos pontos. [*] Em um plano e fora dele existem infinitos pontos [/list]

• 1. 1º Postulado da Existência - Plano de aula
• 2. 1º Postulado da Existência
• 3. 2º Postulado da Existência - Plano de Aula
• 4. 2º Postulado da Existência

Neste capítulo trabalharemos os dois postulados da determinação, são eles: [list] [*] Por quaisquer dois pontos distintos, passa uma única reta. [*] Por três pontos não-colineares é determinado um único plano. [/list]

• 1. 1º Postulado da Determinação - Plano de Aula
• 2. 1º Postulado da Determinação
• 3. 2º Postulado da Determinação - Plano de Aula
• 4. 2º Postulado da Determinação

Neste capítulo trabalharemos os dois postulados da inclusão, são eles: [list] [*] Uma reta está contida em um plano quando dois pontos quaisquer da reta pertencem ao plano. [*] Um ponto pertence a um plano quando este pertence a uma reta qualquer do plano. [/list]

• 1. 1º Postulado da Inclusão - Plano de Aula
• 2. 1º Postulado da Inclusão
• 3. 2º Postulado da Interseção - Plano de Aula
• 4. 2º Postulado da Inclusão

Neste capítulo trabalharemos o postulado da interseção, o qual diz que se dois planos distintos possuem um ponto em comum, então existe uma única reta que passa por esse ponto e que pertence aos dois planos.

• 1. Postulado da Interseção - Plano de Aula
• 2. Postulado da Interseção

Neste capítulo trabalharemos o postulado da separação do espaço, o qual diz que um plano α qualquer divide o espaço em duas regiões distintas, I e II, as quais não contém o plano α e tais que: [list=a] [*] Se um ponto [math]A∈I[/math] e um ponto [math]B∈II[/math], então [math](AB)∩α={C}[/math], ou seja, se A pertence a região I e B a região II, então o segmento (AB)intersecta o plano α em um único ponto. [*] Se um ponto [math]A∈I[/math] e um ponto [math]B∈I[/math], então [math](AB)∩α=∅[/math], ou seja, se A e B pertencem a região I, então o segmento (AB) não intersecta o plano α. Análogo para o caso [math]A∈II e B∈II[/math]. [/list]

• 1. Postulado da Separação do Espaço - Plano de Aula
• 2. Postulado da Separação do Espaço

Nesta atividade iremos explorar através da experimentação a relação de Euler a qual diz que para os poliedros convexos existe uma relação entre o número V de vértices, F de faces e A de arestas, tal relação é dada por V+F=A+2.

• 1. Relação de Euler - Plano de Aula
• 2. Relação de Euler

Nesta atividade iremos explorar através da experimentação como se calcula o volume de um bloco retangular a partir da relação entre o seu comprimento, a sua altura e a sua largura, ou seja, queremos concluir que o volume de um bloco retangular será dado por: [math]volume=comprimento ∙largura∙altura[/math]. Nesta atividade utilizaremos um applet intitulado Volume de um cubo e disponível publicamente na plataforma do Geogebra, no link https://www.geogebra.org/m/mRYqR8AP, de autoria de Cátia Almeida, cujo perfil na plataforma pode ser acessado através do link: https://www.geogebra.org/u/catiarcalmeida.

• 1. Volume do Bloco Retangular - Plano de Aula
• 2. Volume de um Bloco Retangular

Nesta atividade iremos explorar através da experimentação como se visualiza a projeção ortogonal de um objeto. A projeção ortogonal de figuras espaciais sobre um plano pode ser pensada como sendo a sombra da figura produzida quando o sol está no horário mais alto. Por ser um tema bastante recorrente no ENEM, utilizaremos uma questão que caiu na prova do ENEM no ano de 2022, cujo enunciado pode ser visto a seguir:

• 1. Projeção Ortogonal - Plano de Aula
• 2. Projeção Ortogonal - ENEM 2022

O princípio de Cavalieri está relacionado à geometria espacial e foi desenvolvido pelo matemático italiano Bonaventura Cavalieri no século XVII. Cavalieri foi contemporâneo de outros grandes matemáticos da época, como Galileu Galilei e Johannes Kepler, e fez contribuições significativas para a geometria e a matemática aplicada. Cavalieri percebeu que duas figuras sólidas (geralmente prismas ou cilindros) são iguais em volume se possuírem áreas de seção transversal iguais em todos os níveis, mesmo que suas formas e tamanhos globais possam ser diferentes. De um modo geral, podemos considerar o Princípio de Cavalieri como um axioma que diz que para dois ou mais sólidos quaisquer, se todo plano horizontal que secciona os sólidos forma seções de áreas iguais, então os seus volumes também são iguais. Para entender melhor o princípio, considere dois sólidos tridimensionais. Se, ao cortarmos ambos perpendicularmente à mesma direção, as áreas das seções transversais resultantes forem iguais para todos os cortes, então os dois sólidos têm o mesmo volume.

• 1. Princípio de Cavalieri - Plano de Aula
• 2. Princípio de Cavalieri

Nesta atividade iremos explorar através da experimentação como se calcula o volume de uma Prisma qualquer, para tal adotaremos o volume de um paralelepípedo retângulo como axioma dado por [math]V=c∙l∙h[/math], como a área da base deste sólido é dada por [math]A_b=c∙l[/math], tem-se que o volume é dado pelo produto da área da base pela altura, ou seja, V=A_b∙h, assim podemos usar o Princípio de Cavalieri para estender esta fórmula para todos os prismas.

• 1. Volume de Um Prisma - Plano de Aula
• 2. Volume de Um Prisma

Nesta atividade iremos explorar através da experimentação como se calcula o volume de um cilindro, para tal adotaremos o cilindro como um prisma cuja quantidade de lados do polígono da base tende ao infinito, percebendo isso conclui-se que o volume de um cilindro é calculado da mesma forma que o volume de um prisma, ou seja, [math]V=A_b∙h[/math], entretanto no cilindro a base é um círculo, logo [math]A_b=π∙r^2[/math] portanto o volume do cilindro será dado por [math]V=π∙r^2∙h[/math].

• 1. Volume do Cilindro - Plano de Aula
• 2. Volume do Cilindro

Nesta atividade iremos explorar através da experimentação como se calcula o volume da pirâmide, o aluno será conduzido a percebe que o volume de uma pirâmide é um terço do volume do prisma de mesma base e mesma altura, ou seja, [math]V=1/3∙A_b∙h[/math].

• 1. Volume da Pirâmide - Plano de Aula
• 2. Volume da Pirâmide

Nesta atividade iremos explorar através da experimentação como se calcula o volume de um cone, para tal adotaremos o cone como uma pirâmide cuja quantidade de lados do polígono da base tende ao infinito, percebendo isso conclui-se que o volume de um cone é calculado da mesma forma que o volume de uma pirâmide, ou seja, [math]V=1/3∙A_b∙h[/math], entretanto no cone a base é um círculo, logo [math]A_b=π∙r^2[/math] portanto o volume do cone será dado por [math]V=1/3∙π∙r^2∙h[/math].

• 1. Volume do Cone - Plano de Aula
• 2. Volume do Cilindro