Általános iskolai rutin probléma, hogy egy [i]n[/i] oldalú konvex sokszög [i]n-2[/i] háromszögre bontható úgy, hogy a háromszögek csúcsai a sokszög csúcsai legyenek. [br] Vajon igaz ez az egyszerű, de alkalmasint "nagyon" konkáv sokszögekre is? Bizonyítható, hogy bármely egyszerű sokszögnek van legalább két [i]levágható háromszöge[/i], vagyis olyan, amelynek a csúcsai a sokszög csúcsai közül kerülnek ki, és e háromszögek belső pontjai csak ezekhez a háromszögekhez tartoznak. Ezzel azt is beláttuk, hogy bármely egyszerű sokszög háromszögekre bontható úgy, hogy a csúcsaik a sokszög csúcsai legyenek.

Egy GeoGebra programozási feladat:[br][br]Legyen adott a GeoGebra síkbeli koordinátarendszerében a [b]P[sub]n[/sub]={ A1, A2, ...An}[/b] pontsorozat amelyek egyetlen GeoGebra paranccsal előállítják az [b]S=Sokszög(P[sub]n[/sub])[/b], objektumot![br][br]Készítsünk olyan Geogebra programot, amely eldönti, hogy[br][list][*]igaz-e, hogy [i]P[sub]n[/sub][/i] olyan pontsorozat, amelynek bármely három eleme háromszöget alkot;[/*][*]ha igen, akkor igaz-e, hogy [i]S[/i] egy [i]n[/i] oldalú egyszerű sokszög;[/*][*]ha igen, akkor bontsa a program az [i]S sokszöget[/i] n-2 háromszögre az alkalmasan kiválasztott átlókkal. [/*][/list][size=85]Megjegyezzük, hogy mivel [i]A1, A2, ...An [/i]a táblázatkezelő első oszlopában adott pontokat jelöli, e pontok mozgatásával, könnyen ellenőrizhető a program helyessége.[/size]

Ugyancsak könnyen igazolható, hogy egy[i] konvex[/i] poliéder [u]test[/u] felbontható olyan tetraéderekre, amelynek a csúcsai a poliéder csúcsai lesznek. Mi több, olyan felbontást is könnyen kaphatunk, ahol minden tetraédernek van egy közös csúcsa.[br][br]Ugyanez a konkáv poliéderekre már nem biztos, hogy igaz. Ehhez elegendő legalább egy ellenpéldát találnunk. Kívánatos lenne könnyen áttekinthető, meggyőző ellenpélda keresése. [br][br] [url=https://en.wikipedia.org/wiki/Erich_Sch%C3%B6nhardt]Erich Schönhardt (1891-1979)[/url] német matematikus 1928-ban leírt egy [url=https://en.wikipedia.org/wiki/Sch%C3%B6nhardt_polyhedron]mindössze 6 csúcsú poliéder[/url]t, amely nem bontható tetraéderekre.[br]Vegyünk egy szabályos háromszög alapú egyenes hasábot. A fedőlapját forgassuk el a hasáb tengelye körül kevesebb mint 60 °-kal, az oldallapjai helyettesítsük két két háromszöglappal úgy, hogy a kapott poliéder konkáv legyen. Így az átlói kívül lesznek a poliédertesten, ezért a kapott konkáv oktaéder nem bontható tetraéderekre úgy, hogy a csúcsai az adott csúcsok legyenek.[br][br]Ez a példa indokolttá teszi, hogy bármely konkáv poliéderre felvessük ugyanezt a kérdést: "V[i]ajon tetraéderre bontható-e?"[/i][br][br]

[url=http://www.mi.sanu.ac.rs/vismath/visbook/csaszar/]Császár Ákos igazolta[/url], hogy a tóruszra rajzolt teljes gráf közönséges (önátmetszés nélküli) poliéderként is realizálható. [url=https://upcommons.upc.edu/bitstream/handle/2099/1067/st17-10-a7-ocr.pdf?sequence=1&isAllowed=y]J. Bokowski és A. Eggert megmutatta[/url], hogy ennek négy, ránézésre különböző, de azonos kombinatorikus szerkezetű változata van. [url=https://www.geogebra.org/m/ntchmfa7]Ezekkel itt ismerkedhettünk meg.[/url][br][br][br]Ezt követően vetődött fel az a kérdés, hogy ezek a poliéder testek felbonthatók-e tetraéderekre úgy, hogy a kapott tetraéderek csúcsai a hét adott csúcs közül kerüljenek ki. Mivel a poliéder bármely két csúcsát él köti össze, ezért csak olyan tetraéderek alkothatják a felbontást, amelyeknek pontosan két lapja tartozik a poliéder felülethez. A másik kettővel egy-egy szomszédos tetraéderhez csatlakoznak Az így kapott elvágó lapok mindegyikének pontosan két másik elvágó lappal van közös élük, ezért ezeknek együtt egy folytonos zárt háromszögláncot alkotnak.. Együtt ezek alkotják a felbontás [i]elvágó felületét[/i]. [br][br]E vizsgálat során kiderült, hogy mind a négy esetben lehetséges a poliéder test tetraéderekre bontása, de csak egyféleképpen. A tetraéderek eltávolításának a sorrendje egyértelműen meghatározott, a mozgások iránya is korlátozott, ha el akarjuk kerülni a tetraéderek (fizikai) ütközését.[br][br]A felbontás során keletkezett elvágó felület minden esetben egy Möbius szalag. A hét csúcsú teljes gráf, így a Császár poliéder élhálózata is három Hamilton kört alkot. Ezek egyike az elvágó felület határvonala, másik a háromszöglánc egymáshoz csatlakozó lapjainak az élrendszere. [br][br]Megjegyezzük még, hogy az élhálózat három Hamilton-köre közül minden esetben pontosan egy csomót alkot. Erre ‑ személyes kommunikáció kapcsán ‑ John Conway hívta fel a figyelmünket, emlékeztetve arra a tételére, miszerint ha egy tórusz felületre olyan zárt vonalat illesztünk, amely p-szer kerüli meg a tórusz vezérkörét, q-szor a forgástengelyét, ahol p>1 ,q>1 és (p,q)=1, akkor ez a vonal egy egyszerű csomót alkot.[br][br]Az alábbi appletben azt mutatjuk meg, hogy e négy változat mindegyike felbontható tetraéderekre, de csak egyféleképpen. [br][br]A felbontás során keletkezett elvágó felület mind a négy esetben egy Möbius-szalag. A hét csúcsú teljes gráf, így a Császár-poliéder élhálózata is három Hamilton-kört alkot. Ezek egyike az elvágó felület határvonala, másik a háromszöglánc egymáshoz csatlakozó lapjainak az él rendszere. A harmadik Hamilton kör szakaszaira illeszkedő lapok lesznek az egyes  felbontó tetraédernek a a poliéder felülethez tartozó lapjai.[br][br]Figyeljük meg, hogy az összes esetben a három Hamilton-kör közül pontosan egy csomót alkot.