Im Applet unten ist eine Funktion dargestellt, über die Schieberegler können die Integrationsgrenzen verschoben werden. Der orientierte Fächeninhalt A[sub]1[/sub] zwischen a und x[sub]0[/sub] ist durch die Integralfunktion J[sub]a[/sub](x) gegeben (berechnet durch die Rechteckstreifen für [math]\Delta\rightarrow0[/math], "Riemann Türmchen").[br][br]Wie steht es nun um die Änderungsrate dieser Integralfunktion? Wie ändert sich die Fläche, wenn die obere Grenze leicht variiert? Das ist die Beweisidee für den Hauptsatz. [br][br]Zur braunen Fläche A1 kommt nun eine weitere, grün dargestellte Fläche A[sub]2[/sub], Gesamtfläche ist A[sub]1[/sub]+A[sub]2[/sub]. Nun im Detail:
Stellen Sie sich nun vor, dass eine zusätzliche Fläche bis beispielsweise x[sub]0[/sub]=3 hinzukommt. Wie könnte man diese zusätzliche Fläche nach oben bzw. nach unten Abschätzen?
[math]x\Delta[/math] ist in diesem Fall 3-2=1. [br]Wenn man den [b]kleinsten [/b]Funktionswert auf dem Intervall [1|3] nimmt, dann erhält man eine Abschätzung von A[sub]2[/sub] nach unten (d.h. A[sub]2[/sub] ist auf jeden Fall größer als diese Fläche).[br]Wenn man den [b]kleinsten [/b]Funktionswert auf dem Intervall [1|3] nimmt, dann erhält man eine Abschätzung von A[sub]2[/sub] nach oben (d.h. A[sub]2[/sub] ist auf jeden Fall kleiner als diese Fläche).[br]Veranschaulichen Sie sich diese Überlegung mit dem Applet. Variieren Sie auch die Größe der zusätzlichen Fläche mit h
Man kann nun mit den beiden Schätzflächen (kleines und großes Rechteck) eine Ungleichung aufstellen. Die genaue Zusatzfläche liegt zwischen diesen beiden Werten. Läßt man nun h gegen 0 gehen, dann erhällt man die Änderungsrate der Fläche wenn man diese durch das hinzugekommene h (sprich Delta...) dividiert.[br][br]Man stellt dann folgendes fest:[b][br]Die Änderungsrate der Flächeninhaltsfunktion ist die Funktion, die die Fläche begrenzt![/b]
Was bedeutet das oben formulierte Ergebnis im Umkehrschluß?
Wenn die Änderungsrate der Flächeninhaltsfunktion einer Funktion gelich der Funktion ist, die die Fläche begrenzt, dann gilt auch der Umkehrschluß:[br][br]Die Flächeninhaltsfuntkion ist gegeben durch die Stammfunktion der Funktion, die die Fläche begrenzt.
Die Fläche unter der Kurve hat einen eindeutigen Wert. Wie steht es aber um die Stammfunktion. Ist die Stammfunktion einer Funktion eindeutig gegeben? Gibt es nu eine Stammfunktion?
Nein![br]Es gibt unendlich viele Stammfunktionen, da ja jeweils eine Integrationskonstante c addiert werden muß. Dies ist notwendig, da die Abeitung das konstante Glied der Funktion zerstört (Differenzenquotient!). Das muss offen bleiben![br]Die Antort auf dieses Problem finden Sie im nächsten Kapitel