-
Kombinatorika
-
1. Hány részre osztja
- Legfeljebb hány részre osztja ...
- gyk_86 - Ötszög
- Emelt érettségi 2021. május, 2.
- Emelt érettségi 2019.május, 7.
- Emelt érettségi 2018. május, 8.
- Emelt érettségi 2016. október, 9.
- Emelt érettségi 2008. május, 7.
- Hány részre bontja?
-
2. Kombinatorika feladatok
- gyk_215 - Ismétléses kombinációs problémák
- Emelt érettségi 2022. május, 5.
- Emelt érettségi 2022. május, 8.
- Emelt érettségi 2021.október, 4.
- Emelt érettségi 2020. október, 2.
- Emelt érettségi 2020. október, 5.
- Emelt érettségi 2020. október, 9.
- Emelt érettségi 2022. október, 5.
- Emelt érettségi 2018. október, 5.
- Emelt érettségi 2018. május, 3.
- Emelt érettségi 2018. május, 5.
- Emelt érettségi 2017. október, 3.
- Emelt érettségi 2017. május, 8.
- Emelt érettségi 2016. október, 4.
- Emelt érettségi 2016. október, 6.
- Emelt érettségi 2016. október, 9.
- Emelt érettségi 2016. május, 2.
- Emelt érettségi 2016. május, 6.
- Emelt érettségi 2015. október, 4. b)
- Emelt érettségi 2015. október, 6.
- Emelt érettségi 2015. május, 3.
- Emelt érettségi 2015. május, 8.
- Emelt érettségi 2014. október, 6.
- Emelt érettségi 2014. október, 7.
- Emelt érettségi 2014. október, 8.
- Emelt érettségi 2014. május, 1.
- Emelt érettségi 2014. május, 9.
- Emelt érettségi 2013. május, 3.
- Emelt érettségi 2013. május, 8.
- Emelt érettségi 2012. október, 5.
- Emelt érettségi 2012. május, 6.
- Emelt érettségi 2011. október, 9.
- Emelt érettségi 2010. október, 6.
- Emelt érettségi 2010. október, 8.
- Emelt érettségi 2009. október, 5.
- Emelt érettségi 2009. október, 7.
- Emelt érettségi 2009. május, 9.
- Emelt érettségi 2008. október, 6.
- Emelt érettségi 2007. október, 8.
- Emelt érettségi 2007. május, 7.
- Emelt érettségi 2006. október, 2.
- Emelt érettségi 2006. február, 2.
- Emelt érettségi 2006. február, 7.
- Emelt érettségi 2005. október, 2.
- Emelt érettségi 2005. október, 8.
- Hány olyan metszéspontja van ...
- Hány rácspont ...
- Egy zárt ...
- Hány rácspont ... (3.)
- Hány olyan négyjegyű ...
- 2025. 122.
- 2025. 166.
- 2025. 186.
- 2025. 188.
- 2025. 189.
- 2025. 227.
- 2026. 48.
- 2026. 77.
- 2026. 101.
- 2026. 107.
- 2026. 110.
- 2026. 129.
- 2026. 133.
This activity is also part of one or more other Books. Modifications will be visible in all these Books. Do you want to modify the original activity or create your own copy for this Book instead?
This activity was created by '{$1}'. Do you want to modify the original activity or create your own copy instead?
This activity was created by '{$1}' and you lack the permission to edit it. Do you want to create your own copy instead and add it to the book?
Kombinatorika
Tarcsay Tamás, Nov 2, 2019
Kombinatorikus geometriai problémák
Table of Contents
- Hány részre osztja
- Legfeljebb hány részre osztja ...
- gyk_86 - Ötszög
- Emelt érettségi 2021. május, 2.
- Emelt érettségi 2019.május, 7.
- Emelt érettségi 2018. május, 8.
- Emelt érettségi 2016. október, 9.
- Emelt érettségi 2008. május, 7.
- Hány részre bontja?
- Kombinatorika feladatok
- gyk_215 - Ismétléses kombinációs problémák
- Emelt érettségi 2022. május, 5.
- Emelt érettségi 2022. május, 8.
- Emelt érettségi 2021.október, 4.
- Emelt érettségi 2020. október, 2.
- Emelt érettségi 2020. október, 5.
- Emelt érettségi 2020. október, 9.
- Emelt érettségi 2022. október, 5.
- Emelt érettségi 2018. október, 5.
- Emelt érettségi 2018. május, 3.
- Emelt érettségi 2018. május, 5.
- Emelt érettségi 2017. október, 3.
- Emelt érettségi 2017. május, 8.
- Emelt érettségi 2016. október, 4.
- Emelt érettségi 2016. október, 6.
- Emelt érettségi 2016. október, 9.
- Emelt érettségi 2016. május, 2.
- Emelt érettségi 2016. május, 6.
- Emelt érettségi 2015. október, 4. b)
- Emelt érettségi 2015. október, 6.
- Emelt érettségi 2015. május, 3.
- Emelt érettségi 2015. május, 8.
- Emelt érettségi 2014. október, 6.
- Emelt érettségi 2014. október, 7.
- Emelt érettségi 2014. október, 8.
- Emelt érettségi 2014. május, 1.
- Emelt érettségi 2014. május, 9.
- Emelt érettségi 2013. május, 3.
- Emelt érettségi 2013. május, 8.
- Emelt érettségi 2012. október, 5.
- Emelt érettségi 2012. május, 6.
- Emelt érettségi 2011. október, 9.
- Emelt érettségi 2010. október, 6.
- Emelt érettségi 2010. október, 8.
- Emelt érettségi 2009. október, 5.
- Emelt érettségi 2009. október, 7.
- Emelt érettségi 2009. május, 9.
- Emelt érettségi 2008. október, 6.
- Emelt érettségi 2007. október, 8.
- Emelt érettségi 2007. május, 7.
- Emelt érettségi 2006. október, 2.
- Emelt érettségi 2006. február, 2.
- Emelt érettségi 2006. február, 7.
- Emelt érettségi 2005. október, 2.
- Emelt érettségi 2005. október, 8.
- Hány olyan metszéspontja van ...
- Hány rácspont ...
- Egy zárt ...
- Hány rácspont ... (3.)
- Hány olyan négyjegyű ...
- 2025. 122.
- 2025. 166.
- 2025. 186.
- 2025. 188.
- 2025. 189.
- 2025. 227.
- 2026. 48.
- 2026. 77.
- 2026. 101.
- 2026. 107.
- 2026. 110.
- 2026. 129.
- 2026. 133.
Legfeljebb hány részre osztja ...
- az egyenest n pontja;
- a síkot n egyenese;
- a teret n síkja;
- a k-dimenziós teret n darab k-1 dimenziós hitpersíkja ("Elvetemült geométereknek").
(Dr. Szilassi Lajos javaslatára)
1.
Tétel: az egyenest n pontja n + 1 részre (n -1 szakasz és két félegyenes) osztja. ezt így jelöljük:
. (Az R alsó indexe a dimenziószámra utal.) A tétel elég nyilvánvaló, aki akar, az gondolkodjon el a bizonyításon!
2.
Maximális számú síkrész akkor jön létre, ha az egyenesek között nincsenek párhuzamosak, különböző pontokban metszik egymást.
A fenti GeoGebra fájl alapján a keletkezett síkrészek száma:
Ismerősök ezek a számok?
Egészítsük ki a fenti táblázatot a háromszögszámok sorával!
A sejtés ...
ezek alapján már adódik: .
A bizonyítás ...
például teljes indukcióval (is) történhet.
n= 1-re igaz az állatás.
Tegyük fel, hogy adott a síkon n páronként nem párhuzamos egyenes, amelyek különböző pontokban metszik egymást, és 
részre ontják a síkot. Egy (n + 1). egyenes egyikükkel sem párhuzamos és nem megy át a korábbiak egyik metszéspontján sem. Ezt az egyenest a korábbiak különböző pontokban metszik, és - a korábbiak szerint 
részre bontják. Minden így kapott egyenes rész két részre bont egy korábbi síkrészt. Ezek szerint:
Felhasználva az indukciós feltételt és a korábbiakat,
Az állítást bebizonyítottuk.
részre ontják a síkot. Egy (n + 1). egyenes egyikükkel sem párhuzamos és nem megy át a korábbiak egyik metszéspontján sem. Ezt az egyenest a korábbiak különböző pontokban metszik, és - a korábbiak szerint részre bontják. Minden így kapott egyenes rész két részre bont egy korábbi síkrészt. Ezek szerint:
Felhasználva az indukciós feltételt és a korábbiakat,
Az állítást bebizonyítottuk.3.
Akkor osztja maximális számú részre a teret n sík, ha nincsenek közöttük párhuzamosak, különböző egyenesekben metszik egymást. és e metszésvonalak is különböző pontokban metszik egymást. Legyen adott n ilyen sík! Vegyünk hozzá egy (n + 1). síkot úgy hogy a korábbiakat a korábbiaktól különböző egyenesekben messe, és ne menjen át a korábbi metszésvonalak metszéspontjain! Ezt a síkot a korábbi síkok n egyenesben metszik, és a korábbiak szerint azt részre osztják. Minden ilyen síkrész két részre oszt egy korábban már meglevő síkrészt. Ezek szerint igaz a következő rekurzió:
.
Nyilvánvaló, hogy . Ennek és a korábbiaknak felhasználásával kapjuk, hogy
Egy jó sejtés kéne. Ennek megtalálásában segíthet a GeoGebra görbeillesztési funkciója:
Csak nem igaz az, hogy:
?
A bizonyítást az olvasóra bízzuk.
4.
"Elvetemült geométer" nem lévén, a korábbiak alapján csak egy rekurzió felvetését kockáztatjuk meg:
. (1)
Ha ezt a rekurziót helyesnek fogadjuk el, akkor a következőkre jutunk:
A sejtés megtalálásához megint illesszünk görbét!
Sejtés:
Ha igaz, akkor itt tartunk most.
Lehet, hogy érdemes böngészni.
Dr. Németh Zoltán tanár úr javaslatára ...
vizsgáljuk a következő sorozatot!
, ha .
A sorozat első néhány tagja:
Sejtés a fentiek alapján:
, ha
A bizonyítás - bizonyára - történhet az (1) rekurzió felhasználásával.
És még egy kérdés Dr. Németh Zoltán tanár úrtól:
Az rész között hány korlátos van?
Források:
- http://www.math.ubbcluj.ro/~andrasz/CD/INDUKCIO/III%20fejezet.pdf
- Pólya György: Indukció és analógia (Gondolat kiadó 1988. 60. oldal)
Kombinatorika feladatok
-
1. gyk_215 - Ismétléses kombinációs problémák
-
2. Emelt érettségi 2022. május, 5.
-
3. Emelt érettségi 2022. május, 8.
-
4. Emelt érettségi 2021.október, 4.
-
5. Emelt érettségi 2020. október, 2.
-
6. Emelt érettségi 2020. október, 5.
-
7. Emelt érettségi 2020. október, 9.
-
8. Emelt érettségi 2022. október, 5.
-
9. Emelt érettségi 2018. október, 5.
-
10. Emelt érettségi 2018. május, 3.
-
11. Emelt érettségi 2018. május, 5.
-
12. Emelt érettségi 2017. október, 3.
-
13. Emelt érettségi 2017. május, 8.
-
14. Emelt érettségi 2016. október, 4.
-
15. Emelt érettségi 2016. október, 6.
-
16. Emelt érettségi 2016. október, 9.
-
17. Emelt érettségi 2016. május, 2.
-
18. Emelt érettségi 2016. május, 6.
-
19. Emelt érettségi 2015. október, 4. b)
-
20. Emelt érettségi 2015. október, 6.
-
21. Emelt érettségi 2015. május, 3.
-
22. Emelt érettségi 2015. május, 8.
-
23. Emelt érettségi 2014. október, 6.
-
24. Emelt érettségi 2014. október, 7.
-
25. Emelt érettségi 2014. október, 8.
-
26. Emelt érettségi 2014. május, 1.
-
27. Emelt érettségi 2014. május, 9.
-
28. Emelt érettségi 2013. május, 3.
-
29. Emelt érettségi 2013. május, 8.
-
30. Emelt érettségi 2012. október, 5.
-
31. Emelt érettségi 2012. május, 6.
-
32. Emelt érettségi 2011. október, 9.
-
33. Emelt érettségi 2010. október, 6.
-
34. Emelt érettségi 2010. október, 8.
-
35. Emelt érettségi 2009. október, 5.
-
36. Emelt érettségi 2009. október, 7.
-
37. Emelt érettségi 2009. május, 9.
-
38. Emelt érettségi 2008. október, 6.
-
39. Emelt érettségi 2007. október, 8.
-
40. Emelt érettségi 2007. május, 7.
-
41. Emelt érettségi 2006. október, 2.
-
42. Emelt érettségi 2006. február, 2.
-
43. Emelt érettségi 2006. február, 7.
-
44. Emelt érettségi 2005. október, 2.
-
45. Emelt érettségi 2005. október, 8.
-
46. Hány olyan metszéspontja van ...
-
47. Hány rácspont ...
-
48. Egy zárt ...
-
49. Hány rácspont ... (3.)
-
50. Hány olyan négyjegyű ...
-
51. 2025. 122.
-
52. 2025. 166.
-
53. 2025. 186.
-
54. 2025. 188.
-
55. 2025. 189.
-
56. 2025. 227.
-
57. 2026. 48.
-
58. 2026. 77.
-
59. 2026. 101.
-
60. 2026. 107.
-
61. 2026. 110.
-
62. 2026. 129.
-
63. 2026. 133.
gyk_215 - Ismétléses kombinációs problémák
Saving…
All changes saved
Error
A timeout occurred. Trying to re-save …
Sorry, but the server is not responding. Please wait a few minutes and then try to save again.