Matemáticas de Nivel Bachillerato con Geogebra
[color=#b20ea8] Este libro de GeoGebra, concentra diversas temáticas del área de matemáticas, de nivel bachillerato, con el objeto de que los alumnos logren, a través de su uso, la incorporación de conceptos matemáticos básicos, mediante esta herramienta, que resulta muy atractiva a los nativos digitales. [/color] Imagen obtenida en: https://images.app.goo.gl/QeJpn4FdjZUdyzk2A
Table of Contents
- GE-Geometría Euclidiana
- El número π y su relación con la circunferencia
- Área de un círculo mediante un polígono de varios lados
- Ángulos en la circunferencia
- Bisectrices y Cinrcunferencia Inscrita
- Mediatrices y Circunferencia Circunscrita
- GA-Geometría Analítica
- Ecuación General de una Circunferencia
- PC-Precálculo
- Función Senoidal
- CI-Cálculo Integral
- Integral Definida
- MI-Misceláneo
- La Cicloide
El número π y su relación con la circunferencia
[color=#1155cc][b]El número PI[/b][br][br][/color][justify][color=#1155cc]Hay un número muy célebre en las matemáticas, conocido desde hace miles de años por diferentes culturas: egipcios, hebreos, griegos, chinos. Este número es conocido como PI y su valor aproximado es de 3.14159.[br][br]Con este applet, descubrirá la relación entre este número y el diámetro de una circunferencia.[br][br]Una circunferencia representa el contorno o perímetro de un círculo.[/color][br][br][color=#ff7700][i][b]Desliza el centro de la circunferencia (con clic sostenido), observa y anota según se solicita más abajo.[/b][/i][/color][/justify]
[color=#3c78d8]1) ¿Cuál es la longitud de la circunferencia de diámetro uno?[br]2) Vuelve a la posición inicial y desliza ahora el punto azul hasta visualizar la circunferencia de diámetro dos. ¿Cuál es ahora su perímetro?[br]3) ¿Cuántas veces más largo es el perímetro de la circunferencia que su diámetro?[br]4) Prueba con el círculo de diámetro 6 (hacer zoom a la imagen con la opción mostrada en la barra de herramientas).[br]5) ¿Cómo explicarías qué es Pi?[/color]
¿Qué es PI?
[color=#9900ff][b]¿Cómo puede calcularse el perímetro de un círculo (circunferencia) conociendo su diámetro?[/b][/color]
[color=#ff0000][b]¿El valor de Pi, se puede obtener dividiendo el perímetro del círculo (circunferencia) entre el diámetro?[/b][/color]
[color=#3c78d8][b]Si deseas mayor información relacionada con el número PI, consulta las siguientes fuentes:[br][/b][br][i]http://www.sociedadelainformacion.com/fisica/pi/pi.htm[br]http://webs.adam.es/rllorens/pihome.htm[br]http://www.ciencianet.com/pi.html[/i][br][br][i]Autor: Jesús Manzo Espín (2007). Última modificación: enero de 2020.[/i][/color]
Ecuación General de una Circunferencia
Esta actividad tiene como finalidad practicar el procedimiento que se sigue en la obtención de la ecuación general de una circunferencia dado su centro y su radio.[br]Se inicia con el planteamiento de la ecuación de la circunferencia en su forma ordinaria o canónica hasta llegar a su ecuación general.[br]Se sugieren una serie de 6 ejercicios de practica mostrados abajo, donde el alumno podrá comprobar el resultado de su procedimiento paso a paso.[br]Se sugiere que para cada ejercicio se activen las casillas correspondientes a cada paso, después de que el alumno haya realizado en su cuaderno de notas el ejercicio correspondiente.[br]Recuerde que “h” y “k” representan las coordenadas del centro de la circunferencia y “r” su radio.[br]Para modificar el centro, dé clic sostenido al punto “C” y muévalo a una nueva posición. Para modificar el radio, haga uso del deslizador azul, ubicado en la parte superior izquierda de la pantalla negra. [br][br]Espero les sea de utilidad este applet, no para mecanizar el procedimiento, sino más bien para darse cuenta que el proceso es invariable, y que lo que diferencia a un procedimiento de otro, son los valores con los que se parte (paso 1).
Ecuación General de una Circunferencia
Función Senoidal
Sinusoide: Explorando Amplitud, Periodo, Desfasamiento y Traslación Vertical
[justify]En el fascinante mundo de las matemáticas, [b]la[/b] [b]sinusoide[/b] se presenta como una curva elegante que captura la esencia de la [b]función seno[/b]. No solo representa gráficamente a esta función, sino que también la encarna en sí misma. Su belleza reside en su capacidad para modelar diversos fenómenos naturales y físicos, desde el movimiento de las olas hasta las vibraciones de las cuerdas de una guitarra.[br][br]Para comprender a fondo la sinusoide, debemos desentrañar los secretos que esconden sus parámetros: [b]amplitud, periodo, desfasamiento y traslación vertical[/b]. Estos elementos clave definen la forma y la posición de la curva, revelando su esencia y comportamiento.[br][br][b]Amplitud:[/b] Es la medida de la "altura" máxima que alcanza la sinusoide por encima de su eje medio. Se representa por el valor absoluto del parámetro [b]a[/b] en la ecuación [b]f(x) = a sin(bx + c) + d[/b]. Imagine una onda marina: la amplitud sería la distancia vertical entre la cresta de la ola y su punto medio.[br][br][b]Periodo: M[/b]arca la distancia horizontal para completar un ciclo completo de oscilación. Se calcula dividiendo el periodo original de la función seno, entre el parámetro [b]b[/b]: [b]2π /[/b] [b]b[/b]. [br][br][b]Desfasamiento[/b]: Indica la cantidad de unidades horizontales en las que se desplaza la sinusoide a la derecha o izquierda. Se representa por el valor de [b]c[/b] en la ecuación f(x) = a sin(bx + c) + d. [br][br][b]Traslación vertical: [/b]Determina la altura del eje medio de la sinusoide. Se representa por el valor del parámetro [b]d[/b]. [/justify]
[justify][b]ACTIVIDAD[/b][br][br]1) Varíe el parámetro “b” (use el deslizador "b" de color rosa, moviéndolo de izquierda a derecha). ¿Qué efecto tiene en el periodo de la función esta variación? Asigne un valor de b=2 y compare los periodos de la función f(x)=sin(x), respecto a la nueva función.[br][br]2) Ahora asigne a “b” un valor de 1, para que la gráfica retorne a su posición original.[br][br]3) Varíe el parámetro “c”. ¿Cómo afecta su desfasamiento? Asigne un valor de 2. ¿Qué tanto se movió la nueva función respecto a f(x)? ¿Hacia dónde fue el movimiento (izquierda o derecha)?[br][br]4) Retorne a la posición original, haciendo c=1.[br][br]5) Varíe el parámetro “a”. ¿Cómo varía su tamaño o amplitud? Asigne a=4. ¿Qué diferencia hay respecto a f(x)?[br][br]6) Retorne a su posición original.[br][br]7) Varíe el parámetro “d”. ¿Cómo afecta su traslación vertical? Asígnele un valor de d=1. ¿Qué diferencia hay respecto a f(x)?[br][br]8) Grafique g(x)= 3 sin(2x-1/2)-2, sólo cambiando los parámetros: a=3, b=2, c= -1/2 y d=-2, no reescriba la ecuación.[br][br]9) ¿Cuál será su periodo, su desfasamiento, su tamaño o amplitud y su traslación vertical?[br][br][/justify]
Para mayor información:
[i][b]Página del autor: [/b]https://sites.google.com/site/jesusmanzoespin[/i]
Integral Definida
Dada una función f(x) y un intervalo [a,b], la integral definida es igual al área limitada entre la gráfica de f(x), el eje de abscisas, y las rectas verticales x = a y x = b.
[list][*]La integral definida se representa por[img]https://www.superprof.es/apuntes/file/2019/05/la-integral-definida-2.gif[/img].[/*][*]∫ es el signo de integración.[/*][*]a límite inferior de la integración.[/*][*]b límite superior de la integración.[/*][*]f(x) es el integrando o función a integrar.[/*][*]dx es diferencial de x, e indica cuál es la variable de la función que se integra.[/*][/list]
[justify][color=#6d9eeb]En este applet se muestra la gráfica de la función f(x)=x/(x²+1) en color naranja. [br]En color azul la función que representa la integral indefinida de f(x).[br][br]Si usted mueve los parámetros “a” y “b” ubicados en el extemo superior izquierdo, podrá percatarse que se obtiene la integral definida en la fila 1 del CAS (pantalla de en medio) para el intervalo [a,b]. El parámetro “n” corresponde a la cantidad de rectágulos que se desea elaborar.[br][br]En las filas 2 y 3 se obtienen las sumas inferior y superior de f(x), para ese mismo intervalo.[br]Y en la fila 4 se obtiene el promedio de las sumas, solicitando se compare este valor con el obtenido en la fila 1, que corresponde al de la integral indefinida.[br][br][b]¿Qué conclusiones obtiene?[/b][/color][/justify][color=#ff7700][i]Ahora te invitamos a que observes el siguiente video, para penetrar más en el mundo de las integrales definidas.[/i][/color]
Integrales
[b][color=#ff00ff]Fuentes de Consulta:[/color][/b][size=100][size=85][color=#9900ff][i][i][br][br]El Traductor de ingeniería[/i]. (17 de Enero de 2020). Obtenido de https://www.youtube.com/watch?v=Ec-cGjh0Fr0[br][br]Super profe[/i]. (17 de Enero de 2020). Obtenido de https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/calculo/integrales/integral-definida.html[/color][br][/size][/size]
La Cicloide
[color=#1155cc][justify][b]Una cicloide[/b] es una curva generada por un punto perteneciente a una circunferencia generatriz al rodar sobre una línea recta directriz (en este caso el eje “x”), sin que la circunferencia se deslice.[br][br]La cicloide fue estudiada por primera vez por [i]Nicolás de Cusa[/i] (1401-1464) y posteriormente por [i]Mersenne[/i] (monje, amigo de Descartes). [br][br][i]Galileo[/i] en el año 1599 estudió la curva y fue el primero en darle el nombre con la que la conocemos. [br][br]En 1696 [i]Bernoulli [/i]mostró que la cicloide representa la curva en la que un objeto experimentará el descenso más rápido por efecto de la gravedad (problema de la [b]braquistócrona[/b]). Así mismo, la cicloide invertida (boca arriba) dio respuesta al [b]problema tautócrono[/b], consistente en encontrar la curva en la que dejando caer un objeto por la misma (por ejemplo una bola) éste llegará a la parte más baja de la curva en un intervalo de tiempo que no depende del punto de partida.[br][br][i]Galileo [/i]intentó averiguar el área bajo esta curva sumando diferentes segmentos rectos situados sobre la misma, mediante aproximación. Algunos años después, en 1634,[i] Gilles P. de Roberval [/i]mostró la relación entre el área bajo la curva de la cicloide y el área del círculo que la genera, misma que con este applet estudiaremos. [br][br]En 1658, [i]Christopher Wren[/i] obtuvo la relación entre el diámetro de la circunferencia generatriz y la cicloide, que también estudiaremos.[/justify][/color]
[justify][color=#ff7700]Note que en la parte superior cuenta con tres deslizadores: [b]cambio de radio, número de vueltas y mover[/b]. Así como tres casillas: [b]mostrar la curva, mostrar la recta tangente a la cicloide y ayuda[/b] (que no deberá activar hasta que se le indique)[/color][color=#3c78d8][br][br]1) Para iniciar dé clic sostenido al deslizador "mover" y muévalo hacia la derecha. Hágalo de una forma lenta.[br][br]2) Active la casilla “mostrar curva” y obtenga los datos correspondientes a “la longitud de la curva roja” y al “área bajo su curva”[br][br]3) Realice una tabla con cuatro columnas, donde incluya los datos: radio, área del círculo (que usted debe calcular A=pi * r[sup]2 [/sup]), la longitud de la curva roja (L) y el área bajo su curva (Ac).[br][/color][/justify]
[color=#1155cc]4) Limpie la pantalla, dando clic a la imagen de dos flechas curvas, mostrada en la parte superior derecha.[br][br]5) Modifique el radio utilizando el deslizador “cambiar radio” a un valor de r=2. Y mueva el deslizador “mover”[br][br]6) Agregue los nuevos datos a su tabla: radio, área del círculo, longitud y área bajo la curva.[br][br]7) Repita el proceso desde el punto 4, para otros radios.[br][br]8) ¿Qué relación detectó usted existe entre el radio y la longitud de la curva cicloide? ¿y entre el área del círculo y el área bajo la cicloide?[br][/color][color=#ff0000][br]Si no ha podido encontrar las relaciones, active la casilla ayuda.[/color][color=#ff7700][br][br][b][i]Visualice los videos mostrados y responda el cuestionario de autoevaluación.[/i][/b][/color]
La Cicloide
[b][color=#9900ff]Consultar las siguientes páginas para mayor información:[/color][br][/b][color=#1155cc][br]Vídeo1: http://www.youtube.com/watch?v=1cpoY_toqSA&feature=related[br]Vídeo 2: http://www.youtube.com/watch?feature=player_embedded&v=m8Qli77-K9o#![br]http://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Trocoides/paginas/introduccion.htm[br]http://es.wikipedia.org/wiki/Cicloide[br]http://almargendefermat.wordpress.com/2009/02/22/la-cicloide-i-braquistocrona-y-tautocrona/[br][br][br][/color][color=#ff7700][i]Jesús Manzo Espín (2011). Última actualización: 2020[/i][/color]