Hay un número muy célebre en las matemáticas, conocido desde hace miles de años por diferentes culturas: egipcios, hebreos, griegos, chinos. Este número es conocido como PI y su valor aproximado es de 3.14159. Con este applet, descubrirá la relación entre este número y el diámetro de una circunferencia. Una circunferencia representa el contorno o perímetro de un círculo. Desliza el centro de la circunferencia (con clic sostenido), observa y anota según se solicita más abajo.

En el fascinante mundo de las matemáticas, la sinusoide se presenta como una curva elegante que captura la esencia de la función seno. No solo representa gráficamente a esta función, sino que también la encarna en sí misma. Su belleza reside en su capacidad para modelar diversos fenómenos naturales y físicos, desde el movimiento de las olas hasta las vibraciones de las cuerdas de una guitarra. Para comprender a fondo la sinusoide, debemos desentrañar los secretos que esconden sus parámetros: amplitud, periodo, desfasamiento y traslación vertical. Estos elementos clave definen la forma y la posición de la curva, revelando su esencia y comportamiento. Amplitud: Es la medida de la "altura" máxima que alcanza la sinusoide por encima de su eje medio. Se representa por el valor absoluto del parámetro a en la ecuación f(x) = a sin(bx + c) + d. Imagine una onda marina: la amplitud sería la distancia vertical entre la cresta de la ola y su punto medio. Periodo: Marca la distancia horizontal para completar un ciclo completo de oscilación. Se calcula dividiendo el periodo original de la función seno, entre el parámetro b: 2π / b. Desfasamiento: Indica la cantidad de unidades horizontales en las que se desplaza la sinusoide a la derecha o izquierda. Se representa por el valor de c en la ecuación f(x) = a sin(bx + c) + d. Traslación vertical: Determina la altura del eje medio de la sinusoide. Se representa por el valor del parámetro d.

ACTIVIDAD 1) Varíe el parámetro “b” (use el deslizador "b" de color rosa, moviéndolo de izquierda a derecha). ¿Qué efecto tiene en el periodo de la función esta variación? Asigne un valor de b=2 y compare los periodos de la función f(x)=sin(x), respecto a la nueva función. 2) Ahora asigne a “b” un valor de 1, para que la gráfica retorne a su posición original. 3) Varíe el parámetro “c”. ¿Cómo afecta su desfasamiento? Asigne un valor de 2. ¿Qué tanto se movió la nueva función respecto a f(x)? ¿Hacia dónde fue el movimiento (izquierda o derecha)? 4) Retorne a la posición original, haciendo c=1. 5) Varíe el parámetro “a”. ¿Cómo varía su tamaño o amplitud? Asigne a=4. ¿Qué diferencia hay respecto a f(x)? 6) Retorne a su posición original. 7) Varíe el parámetro “d”. ¿Cómo afecta su traslación vertical? Asígnele un valor de d=1. ¿Qué diferencia hay respecto a f(x)? 8) Grafique g(x)= 3 sin(2x-1/2)-2, sólo cambiando los parámetros: a=3, b=2, c= -1/2 y d=-2, no reescriba la ecuación. 9) ¿Cuál será su periodo, su desfasamiento, su tamaño o amplitud y su traslación vertical?

• La integral definida se representa por.
• ∫ es el signo de integración.
• a límite inferior de la integración.
• b límite superior de la integración.
• f(x) es el integrando o función a integrar.
• dx es diferencial de x, e indica cuál es la variable de la función que se integra.

En este applet se muestra la gráfica de la función f(x)=x/(x²+1) en color naranja. En color azul la función que representa la integral indefinida de f(x). Si usted mueve los parámetros “a” y “b” ubicados en el extemo superior izquierdo, podrá percatarse que se obtiene la integral definida en la fila 1 del CAS (pantalla de en medio) para el intervalo [a,b]. El parámetro “n” corresponde a la cantidad de rectágulos que se desea elaborar. En las filas 2 y 3 se obtienen las sumas inferior y superior de f(x), para ese mismo intervalo. Y en la fila 4 se obtiene el promedio de las sumas, solicitando se compare este valor con el obtenido en la fila 1, que corresponde al de la integral indefinida. ¿Qué conclusiones obtiene?

Note que en la parte superior cuenta con tres deslizadores: cambio de radio, número de vueltas y mover. Así como tres casillas: mostrar la curva, mostrar la recta tangente a la cicloide y ayuda (que no deberá activar hasta que se le indique) 1) Para iniciar dé clic sostenido al deslizador "mover" y muévalo hacia la derecha. Hágalo de una forma lenta. 2) Active la casilla “mostrar curva” y obtenga los datos correspondientes a “la longitud de la curva roja” y al “área bajo su curva” 3) Realice una tabla con cuatro columnas, donde incluya los datos: radio, área del círculo (que usted debe calcular A=pi * r² ), la longitud de la curva roja (L) y el área bajo su curva (Ac).