Egy sík parkettázásán (kövezésén) egybevágó sikidomokkal történő egyrétegű lefedését értjük.Ez azt jeleni, hogy a sík minden belső pontja pontosan egy, a határvonalra illeszkedő pontok pontosan kettő, a határvonalak metszéspontjaira véges sok parkettához tartozhat.[br][br]Az euklideszi sík kiparkettázására sokféle síkidom alkalmas. Pl. bármely háromszög bármely négyszög -a konkávokat is beleértve megfelelő. Ha szűkítjük a kört, és csak olyan derékszögű háromszög parkettákat keresünk, ahol a szomszédos háromszögek egymás tükörképei a közös oldalegyenesükre, akkor hamar kiderül, hogy erre csak a 30°, 60°-os, ill. a 45°-os derékszögű háromszög alkalmas.[br][br][url=https://www.geogebra.org/m/NSQ9meGe#material/SnGaPnCY]Itt láthattuk[/url], hogy a hiperbolikus sík kiparkettázására - még a fenti feltételek mellett is - végtelen sok lehetőségünk van.[br][br]Ugyanezekkel a feltételekkel hányféleképpen parkettázgató ki a gömb? Mivel a megfelelő háromszög egyik szöge derékszög, a másik kettőre teljesülnie kell annak, hogy mindkettőnek az egész számú többszöröse 360°, továbbá e két szög összege nagyobb 90°-nál. Könnyen belátható hogy ennek a feltételnek csak a 45°, 60°, 90°-os és a 36°, 60°, 90°-os háromszög felel meg. Megfelelnének még a 2 vagy 3 derékszöget tartalmazó háromszögek is, de ezek az előbbi kettőből előállíthatók. [br][br][url=https://www.geogebra.org/m/xa9gzw7e#material/ybgxgbqa]Itt már említettük[/url] , hogy egy gömbháromszög területe a T=( α+β+γ)-180° , továbbá 8 derékszögű szabályos háromszög lefedi a gömböt, a gömb felszine 4π = 720°˛ és a két alkalmas derékszögű gömbháromszög területe (45°+60°+90°)-180° = 15° ill. (36°+60°+90°)-180° = 6° így a gömb teljes lefedéséhez 720°/15°= 48 ill, 720°/6° =120 háromszögre van szükség.[br]

A fenti applet alaposabb megismerését, felfedezését olvasóinkra bízzuk.[br][br]A parketta csúcsai egy kocka és egy oktaéder csúcsainak az alapgömbre vetítésével nyertük. Ha e két poliéder élei merőlegesen metszik egymást, akkor a metszetük az itt is megjelenő [i]félig szabályos poliéder[/i], az un. [i]kocka-oktaéder (=kuboktaéder).[/i] Ennek a köré írt gömbje maga az alapgömb. [br][br]Az ilyen szabályos, de különböző sokszögekkel határolt, egybevágó testszögletekkel bíró félig szabályos poliéderek az [i][url=https://hu.wikipedia.org/wiki/Arkhim%C3%A9d%C3%A9szi_testek]arkhimédészi testek[/url][/i]. Közös tulajdonságuk, hogy van köré irt gömbjük, az összes élt érintő [i]középgömbjük[/i], de [i]beírt gömb[/i]jük, amelyet minden lapnak érinteni kellene, nincs.[br][br]A fenti appletben bemutattunk egy másik értelemben vett félig szabályos poliédert is, a [i]rombikus dodekaédert,[/i] amelynek mind a 12 lapja egybevágó (ezért [i]dodekaéder[/i] =12 lapú) de nem szabályos, mivel a lapok rombuszok (ezért [i]rombikus[/i]) de a testszögletei szabályosak. Az egy csúcsba befutó szomszédos lapok csúcs- ill. lapszögei szögei ugyanakkorák. A négyélű csúcsait úgy kaphatjuk meg, hogy a kocka (egyben az alapgömb) középpontját rendre tükröztük a kocka lapjaira. [br]Így a négyélű csúcsai nem illeszkednek a gömbre. Ez a poliéder a [i][url=https://www.software3d.com/Archimedean.php]Catalan poliéderek[/url][/i] körébe tartozik. Elnevezésük nem a katalán néphez, hanem [url=https://en.wikipedia.org/wiki/Eug%C3%A8ne_Charles_Catalan]E. Charles Catalan[/url] (1814-1894) belga matematikus nevéhez kötődik. E poliéderek közös tulajdonsága, hogy lapjaik egybevágók, testszögleteik szabályosak, (de nem egybevágók), van beírt gömbjük és középgömbjük, de köré írt gömbjük nincs.

Az öt jól ismert szabályos poliéder - [url=https://hu.wikipedia.org/wiki/Szab%C3%A1lyos_test][i]a platóni testek[/i][/url] - közül a fent látott [i]kocka - oktaéder[/i] kapcsolathoz hasonló viszony az un. [i]duális kapcsolat[/i] van a [i]dodekaéder és az ikozaéder [/i]között.[br][br]Az alábbi appletben e kapcsolat helyett inkább arra tettük a hangsúlyt, hogy miként lehet (könnyen? gyorsan?, pontosan?) előállítani azt a 120 egybevágó derékszögű gömb-háromszöget, amellyel ugyancsak kiparkettázható a gömbfelület.

... e sorok írója hadd dicsekedjék könyvespolcának egyik féltve őrzött kincsével, amelyet [url=https://en.wikipedia.org/wiki/Bonnie_Stewart]B. M. Sewart[/url] -tól (1914-1994) kapott. Ez a [u][url=https://upcommons.upc.edu/bitstream/handle/2099/859/st5-09-a5.pdf]kézzel írt és rajzolt [/url][/u] - dedikált :-) - könyv nem csak az alábbi rajzot tartalmazza, hanem egy leírást is arról, hogy hogyan kell ennek a konstrukciónak a papírmodelljét elkészíteni.

[list=1][*]Végy egy háromszöget, amelynek az oldalai [b]4, 6 [/b]és [b]7[/b] [b]cm[/b];[/*][*]az oldalaira ( háromszög felé) rajzolj egy-egy [b]11 cm[/b] szárú egyenlő szárú háromszöget;[/*][*]ezek csúcsaiból rajzolj az oldalakhoz egy-egy (pl.) [b]13[/b] [b]cm[/b] sugarú körívet, amelynek a végpontjai az egyenlő szárú háromszög szárainak a meghosszabbításaira esnek;[/*][*]az így kapott síkidomból készíts ízlés szerint színű és vastagságú papírból kivágott [b]60[/b] jobbos és [b]60 [/b]balos példányt;[/*][*]ezeket hajlítsd meg a háromszögek oldalai mentén, majd ragaszd össze a felhajtott egybevágó körcikk darabokat.[/*][/list]Elismerve, hogy a 4. és 5. lépés elég sok türelmet, pontosságot, némi kézügyességet igényel, a várható eredmény minden bizonnyal kárpótolja majd a bátor vállalkozót.[br] [br]Ami a pontosságot illeti, viszonylag könnyen ellenőrizhető pl. a fenti applet letöltött változatával. Az, hogy az említett könyvben megadott [b] 4, 6, 7[/b] és [b]11[/b] cm-es adat [u]nem pontos[/u] ,várható. De mennyire nem az?

Ami a pontosságot illeti, viszonylag könnyen ellenőrizhető pl. a fenti 36°,60°,90° os gömbparketta applet letöltött változatával.[br]Kössük össze egy elemi G-háromszög csúcsait egy-egy (euklideszi értelemben vett) húrral, ezeket nyújtsuk [b]11/5[/b] arányban. Eredményül ezeket a távolságokat kapjuk: [b]3.991...[/b][b]≈[color=#0000ff]4[/color] [/b], [b]6.012...[/b][b]≈[color=#ff0000]6[/color][/b] , [b]7.049...≈[color=#6aa84f]7 [/color][color=#333333].[/color][/b]Ez gyakorlatilag több, mint elegendő. Sőt, meglepően jó közelítés.[br][br]Aki nem hiszi, járjon utána.

Az alábbi appletben numerikus adatok nélkül állítottuk elő a sablonban használt távolságokat: A GeoGebra CAS eszköztára képletekkel számol, kerekítés nélkül (helyettünk) :

[list][*]1. [b]t: [/b] Mint az appletben láttuk a dodekaéder és az ikozaéder csúcsainak a megadásához az aranymetszés aránya elengedhetetlenül szükséges.[/*][*]2. [b] A:[/b] dodekaéder egyik csúcsa.[/*][*]3. [b] r:[/b] Az A csúcs távolsága a dodekaéder köré írt gömb középpontjától. Nem meglepő a kapott eredmény, a dodekaéder csúcsai között a [b]2[/b] egységnyi élű kocka csúcsai is ott vannak.[/*][*]4.-5.[b] B[/b][sub]T[/sub] , d : A [b]t[/b]-vel előállított ikozaéder és dodekaéder köré írt gömb sugara nem egyenlő.[/*][*]6. -7[b] B, k [/b]:[b] [/b]Most már[b] A[/b] és [b]B[/b] ugyabarra a gömbre illeszkedik, [b]k[/b] -val ellenőriztük.[/*][*]8. A [b]C [/b]pont a [b]z[/b] tengelyre illeszkedik.[/*][*]9.-14: Megkaptuk az [b]ABC Δ [/b]oldalait egy egy algebrai kifejezés formájában. a 11 sugarú gömbre kivetítve is.[/*][*]12.-16: Ugyanezeket megkaptuk 10^(-10) pontossággal is.[/*][/list][br]Ennyi az annyi. :-) [br]