Como ya se registró, se pueden tener tres ecuaciones diferentes para definir una recta:[br][br] [b]y = mx + b[/b] conocida con ecuación normal u ordinaria[br] [math]\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1[/math] conocida como ecuación simétrica o canónica[br] [b] Ax + By + C = 0[/b] conocida como ecuación general[br][br]En este apartado se analiza cómo, de una de las tres ecuaciones se obtienen las otras dos, mediante transformaciones algebraicas.

[b]Ecuación normal: y = mx + b[/b][br][br][b]a) Obtener la ecuación simétrica o canónica[/b] [math]\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1[/math][br]Sólo basta hallar [b]a[/b] (intercepto con X) puesto que [b]b[/b] (intercepto con Y) ya se conoce pues está en la ecuación normal.[br][br]El intercepto con X se obtiene cuando [b]b[/b] vale cero. Al reemplazar [b]y = 0[/b] y [b]x = a[/b] en la ecuación, se tiene,[br]0 = ma + b[br]Por lo tanto [b]a = -b/m[/b][br][br]De esta manera, la ecuación simétrica o canónica será [math]\frac{x}{\left(-\frac{b}{m}\right)}+\frac{y}{b}=1[/math][br][br][b]b) Obtener la ecuación general Ax + By + C = 0[br][/b][br]Sólo basta hacer transposición de términos para que el miembro de la derecha de la ecuación sea cero. [br][br]mx + b - y = 0[br]ordenando, la ecuación general será [b]mx - y + b = 0[/b] En este caso, A = m, B = -1, C = b[br][br]Cuando la pendiente de la recta es una fracción, se puede transformar la ecuación eliminando el denominador como se muestra en este ejemplo:[br][br][math]y=\frac{2}{3}x+4[/math] ecuación 1 [br][math]\frac{2}{3}x-y+4=0[/math] ecuación 2 A = m = 2/3, B = -1, C = b = 4[br][math]\frac{2x-3y+12}{3}=0[/math] ecuación 3[br][math]2x-3y+12=0[/math] ecuación 4 A = 2, B = -3, C = 12[br][br]Las ecuaciones 2 y 4 son equivalentes

[b]Ecuación simétrica o canónica[/b] [math]\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1[/math][br][br][b]a) Obtener la ecuación normal u ordinaria: y = mx + b[br][/b][br]Se eliminan los denominadores y se despeja [b]y[/b] en la ecuación simétrica:[br] [math]bx+ay=ab[/math][br] [math]y=-\frac{b}{a}x+b[/math] por lo tanto, [math]m=-\frac{b}{a}[/math][br][br][b]b) Obtener la ecuación general Ax + By + C = 0[br][/b][br]Se eliminan los denominadores y se iguala a cero:[br] [math]bx+ay=ab[/math][br] [math]bx+ay-ab=0[/math] se deduce que [b]A = b, B = a, C = ab[/b]

[b]Ecuación general Ax + By + C = 0[/b][br][br][b]a) Obtener la ecuación normal u ordinaria: y = mx + b[br][/b][br]Se despeja [b]y[/b] en la ecuación general:[br] [math]y=-\frac{A}{B}x-\frac{C}{B}[/math] por comparación se obtiene [math]m=-\frac{A}{B}[/math] y [math]b=-\frac{C}{B}[/math][br][b][br]b) Obtener la ecuación simétrica o canónica: [math]\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1[/math][br][/b][br]Se necesita calcular los interceptos [b]a[/b] y [b]b[/b].[br][br]Para calcular [b]a[/b] se hace [b]x = a[/b] y [b]y = 0[/b]. Se obtendrá el punto [b]I[sub]x[/sub] = (a,0)[/b].[br] [math]Aa+B\left(0\right)+C=0[/math][br] [math]a=-\frac{C}{A}[/math][br][br]Para calcular [b]b[/b] se hace [b]x = 0[/b] y [b]y = b[/b]. Se obtendrá el punto [b]I[sub]y[/sub] = (0,b)[/b].[br][math]A\left(0\right)+Bb+C=0[/math][br][math]b=-\frac{C}{B}[/math][br]Por lo tanto la ecuación simétrica será [math]\frac{x}{\left(-\frac{C}{A}\right)}+\frac{y}{\left(-\frac{C}{B}\right)}=1[/math]