Construindo Escher: técnicas artísticas no Geogebra
Esse livro contempla uma colação de atividades cujo objetivo é implementar na prática diferentes técnicas de construções geométricas para a reprodução ou criação de Pavimentações baseadas nas obras de M.C. Escher.
Table of Contents
- Isometrias em Pavimentações
- Isometrias em Pavimentações
- Pavimentações de uma Figura
- Pavimentações com Múltiplas Figuras
- Divisão Regular do Plano
- Divisão Regular do Plano
- Pavimentações com o Comando Sequência
- Distorcendo Sequências de Polígonos
- Polígonos de Escher
- Polígonos de Escher
- Quebra-cabeças Poligonais
- Movimento e Animação
- Curvas de Bézier
- Animando Figuras
- Criando Pavimentações
- Criando uma Pavimentação
Isometrias em Pavimentações
Divisão Regular do Plano
Para construir suas figuras complexamente simétricas, Escher utilizou a simples ideia de que alguns polígonos que são capazes de pavimentar todo um plano. Entre os polígonos utilizados por Escher podemos destacar triângulos equiláteros, paralelogramos, deltoides e hexágonos regulares. Seu conjunto de obras construídas através da pavimentação de polígonos é conhecido como Divisão Regular do Plano.
Tipos de Subdivisões
Existem diversos métodos de subdivisões de planos e superfícies. A figura acima ilustra três dos métodos mais utilizados: a triangulação, a subdivisão por quadriláteros e a subdivisão por polígonos de cinco ou mais lados. Estes três métodos serão destacados neste trabalho, sobretudo porque embasam os principais trabalhos e técnicas desenvolvidas por M. C. Escher. No entanto, é importante mencionar que não são apenas polígonos que conseguem subdividir o plano, podemos subdividir o plano utilizando formas curvilíneas. [br][br]Para mais detalhes, acesse o artigo abaixo:[br]https://www.scielo.br/pdf/inter/v18n3/1518-7012-inter-18-03-0003.pdf
Pavimentações Arquimedianas
Pavimentações Arquimedianas
Entre os diferentes tipos de pavimentações poligonais podemos destacar as pavimentações arquimedianas. Estas são pavimentações formadas por dois ou mais polígonos regulares e em que os vértices da pavimentação são todos do mesmo tipo. [br][br]Não é necessário que um polígono seja regular para ser capaz pavimentar o plano, contudo, as Pavimentações Arquimedianas são muito exploradas principalmente por apresentarem um grau complexo de restrições que limitam o número de possibilidades. [br][br]Para mais detalhes, acesse o artigo abaixo:[br]http://www.periodicos.rc.biblioteca.unesp.br/index.php/bolema/article/view/10673/7057
Polígonos de Escher
Escher utilizava polígonos comuns para desenvolver as formas de seus desenhos. Ele transformava estes polígonos usando translações, rotações e reflexões, retirando pequenas áreas e as deslocando para novas posições. Desse modo, a figuras formadas mantinham a mesma área total dos polígonos utilizados inicialmente.
Transformações das Áreas
Curvas de Bézier
Desenhando com Rastos
Atividade 1
[b]1) [/b][b]Mova os controles deslizantes ou selecione o botão para animá-los no menu lateral esquerdo para observar o desenho criado. [/b][br][br]A construção acima ilustra como a Curva de Bézier pode ser usada para construir desenhos curvilíneos interativos para deformar lados de um polígono. Observe que a figura construída foi baseada no quadro Lizards, que, por sua vez utiliza um hexágono regular como base para sua construção. Note também que, é possível rotacionar os rastros de modo que o desenho é realizado simultaneamente em dois lados distintos do polígono.[br]
Construindo uma Curva de Bézier
Atividade 2
[b]1) Crie os pontos E, F e G utilizando os comandos abaixo:[/b][br][br]E=A+a (B-A)[br][br]F=B+a (C-B)[br][br]G=C+a (D-C)[br][br][b]2) Crie os segmentos EF = i e FG = j utilizando os comandos abaixo:[br][br][/b]i=Segmento(E,F)[br][br]j=Segmento(F,G)[br][br][b]3) Crie os pontos H e I utilizando os comandos abaixo:[br][br][/b]H=E+a (F-E)[br][br]I=F+a (G-F)[br][br][b]3) Crie o segmento HI = k utilizando os comandos abaixo:[br][br][/b]k=Segmento(H,I)[br][br][b]4) Crie o ponto J utilizando os comandos abaixo:[br][br][/b]J=H+a (I-H)[br][br][b]5) Clique no ponto J e, em seguida, localize no menu lateral esquerda a opção exibir rastro. Selecione esta opção. [br][br][b]6) Por final, manipule o controle deslizante "a" para observar o desenho gerado. Mova os pontos A, B, C e D para alterar a curva desenhada. [/b][br][/b]
Criando uma Pavimentação
Passo 1:
Construa no Geogebra uma pavimentação baseada em um polígono, como o hexágono. Utilize, se preferir, uma das construções apresentadas na terceira seção do capítulo 2. Manipule os pontos até encontrar formas e contornos familiares, estimulando sua imaginação.
Construção baseada em um Hexágono Regular (Geogebra)
Passo 2:
Salve a imagem da construção realizada e utilize programas de ilustração digital para elaborar os detalhes do desenho, os preenchimentos de cores e sombras.
Processo de ilustração digital no Photoshop
Passo 3:
Utilize o Geogebra ou algum programa de edição de imagem com ferramentas suficientes para realizar as transformações da sua pavimentação.
Pavimentando o Desenho
Resultado Final
