[justify]Seja o círculo ABCD, e sejam os [math]\angle[/math]BAD, [math]\angle[/math]BED ângulos no mesmo segmento circular BAED; digo que os ângulos sob BAD, BED são iguais entre si. [br]Marcando com [icon]https://www.geogebra.org/images/ggb/toolbar/mode_mirroratpoint.png[/icon] o centro do círculo ABCD, o F;[br]Traçando os segmentos BF e FD, temos que: [br]Como, por um lado, o ângulo [math]\angle[/math]BFD é um junto ao centro, e, por outro lado, o [math]\angle[/math]BAD, um sobre a circunferência, e têm o mesmo arco BCD como base, então, pela proposição 20 do Livro III dos Elementos de Euclides (Em um círculo, o ângulo junto ao centro é o dobro do ângulo sobre a circunferência, quando os ângulos possuem a mesma circunferência como base), temos que o [math]\angle BFD[/math] é dobro do [math]\angle BAD[/math]. [br]Pela mesma proposição, então, [math]\angle BFD[/math] também é o dobro do [math]\angle BED[/math]; portanto, o ângulo BÂD é igual ao BÊD. Portanto, em um círculo, os ângulos no mesmo segmento são iguais entre si; como queríamos provar. [br][/justify][br][br]