3.1 Ensino Médio: uma possível abordagem de Máximos e Mínimos
[justify]Aqui apresentamos algumas situações-problema sobre Máximos e Mínimos de funções que podem ser exploradas em conexão com a geometria. Não pretendemos abordar algebricamente o conceito da derivada envolvida nessas situações, mas sim possibilitar ao aluno, pela simulação, uma visão intuitiva sobre caracterização de máximos e mínimos de uma função. [br][br]Inicialmente o professor pode explorar com os alunos o conceito de reta tangente, utilizando o Aplicativo 1.[/justify]
Aplicativo 1
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Utilizando o Aplicativo 2, analise outras funções e crie conjecturas.
Aplicativo 2 - faça conjecturas
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Você percebeu que a inclinação da reta tangente varia conforme movemos o ponto A sobre a função?
Sendo assim, podemos afirmar que para cada abscissa do ponto A, obtemos um respectivo valor como coeficiente angular (tangente da inclinação da reta tangente)?
Analise o Aplicativo 3 que trata sobre o comportamento do coeficiente angular.
Aplicativo 3
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Função Derivada
[justify]Seguido disso, o professor pode explorar com os alunos como encontrar a função que apresenta os valores do coeficiente angular da reta tangente em cada ponto (ou seja, a função derivada).[br]Para isso o professor pode apresentar aos alunos a regra de derivada de função polinomial:[br][br][math]f'\left(x\right)=nx^{n-1}[/math][br][br]Exemplo: Calcular a função derivada da função f(x) apresentada no 'Aplicativo 1'. [br][br][math]f'\left(x\right)=3x^2+2\cdot4x^1+0=3x^2+8x[/math][br][/justify]
Em seguida o professor pode calcular a função derivada de outras funções (faça isso utilizando também o Aplicativo 3):[br][br]1) [math]g\left(x\right)=5x-1[/math][br] [math]g'\left(x\right)=5[/math][br][br]2) [math]h\left(x\right)=x^3-4x+6[/math][br] [math]h'\left(x\right)=3x^2-4[/math][br][br]3) [math]m\left(x\right)=x^4+2x^2-x[/math][br] [math]m'\left(x\right)=4x^3+4x-1[/math]
Exercícios
1) Derive a função:[br][br]a) [math]x^2-2x+2[/math][br]b) [math]3x^4+5x[/math][br]c) [math]\frac{1}{2}x^3-6x^2+4x-1[/math]
Diante disso, vamos analisar como encontrar o(s) ponto(s) de Máximo ou Mínimo de uma função, utilizando sua derivada.[br][br]Para isso, vamos analisar o Aplicativo 4.
Aplicativo 4
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[justify]No Ensino Médio os alunos sabem calcular as raízes de função polinomial do primeiro e segundo grau, todavia, dificilmente é explorado os cálculos de raízes de funções de maior grau. Um método relativamente simples de calcular as raízes de funções contínuas é usando o Teorema de Bolzano. [br][br]Analise e apresente a turma o 'Aplicativo 5' abaixo.[br]Obs.: Essa apresentação não demonstra o teorema.[/justify]
Aplicativo 5
[size=85]Adaptado de Yang (2016).[/size]
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Exemplo: Vamos encontrar o valor aproximado de uma raiz da função [math]f\left(x\right)=x^4+x-3[/math].[br][br]Resolução: Perceba que f(1)=-1<0 e f(2)=15>15, assim f(1)*f(2)<0, o que satisfaz o teorema. Com isso podemos afirmar que existe ao menos uma raiz nesse intervalo. Usando uma calculadora, vamos testar outros valores que se aproximam cada vez mais da raiz da função:[br]f(1,1)=-0,44 e f(1,5)=3,56[br]Assim, perceba que a raiz está muito próximo de x=1,1, afinal, f(1,2)=0,27>0.
Resolva:
Calcule o valor aproximado de uma raiz da função [math]f\left(x\right)=x^5-x^2+2x+3[/math].
Usando os conhecimentos vistos até o momento, verifique qual o valor mínimo da função [math]f\left(x\right)=2x^4+x+1[/math].