Integrali
Dopušteno korištenje, izmjena i prerada djela u nekomercijalne svrhe.
Table of Contents
- Neodređeni integral
- Neodređeni integral
- Određeni integral - površina
- Površina županija
- Darbouxove sume
- Newton - Leibnizova formula
- Relativna i stvarna površina
- Površina lika omeđenog krivuljama
- Određeni integral - obujam
- Obujam kugle
- Obujam valjka
- Bočica parfema
- Obujam rotacijskog tijela
Neodređeni integral
Neka je [math]f:\left\langle a,b\right\rangle\longrightarrow\mathbb{R}[/math]neka funkcija. Tada svaku funkciju [math]F[/math] za koju vrijedi [math]F'\left(x\right)=f\left(x\right)[/math] nazivamo [b]primitivna funkcija[/b] ili [b]antiderivacija funkcije[/b] [math]f[/math].[br]Skup svih primitivnih funkcija dane funkcije [math]f[/math] zove se [b]neodređeni integral[/b] funkcije [math]f[/math] na intervalu .[br]Zapis: [math]\int f\left(x\right)dx=F\left(x\right)+c,c\in\mathbb{R}[/math]
Riješi sljedeći kviz:
1. a)
Koja od navedenih funkcija je primitivna funkcija funkcije [math]f[/math] dane pravilom [math]f\left(x\right)=2x[/math]?
b)
Slobodne članove 0, 2, -1234 i [math]\pi[/math] iz prethodnog zadatka možemo zamijeniti s
2.
[math]\int0\cdot dx=[/math]
3.
[math]\int1\cdot dx=[/math]
4.
[math]\int x^ndx=[/math]
5.
[math]\int e^xdx=[/math]
6.
Neodređeni integral funkcije [math]f[/math] prikazane grafom je
7.
Neodređeni integral funkcije [math]f[/math] prikazane grafom je
8.
[math]\int\frac{1}{x}dx=[/math]
Površina županija
Korištenjem alata Mnogokut odredi približnu površinu županija[br][br]1. Odaberi alat Mnogokut[br]2. Neka se točke mnogokuta nalaze na granici pojedine županije i neka što točnije prate njezin oblik[br]3. Unutar algebarskog prikaza očitaj površinu mnogokuta u [math]cm^2[/math] dobivenog praćenjem granice[br]4. Odredi površinu županije uzimajući u obzir [math]1cm^2\approx140km^2[/math][br]5. Pronađi točnu površinu pojedine županije i napravi usporedbu
Grad Zagreb
Sisačko-moslavačka županija
Požeško-slavonska županija
Osječko-baranjska županija
Bjelovarsko-bilogorska županija
Istarska županija
Ličko-senjska županija
Obujam kugle
[justify]Svakom rotacijskom tijelu, dobivenom rotacijom krivulje oko osi, možemo odrediti obujam.[br][/justify]Rotacijom lika omeđenog osi [math]x[/math] te krivuljom [math]y=f(x),x\in\left[a,b\right][/math] oko osi [math]x[/math] nastaje rotacijsko tijelo čiji je obujam [math]V=\pi\int_a^by^2dx=\pi\int_a^b\left[f\left(x\right)\right]^2dx[/math].[br]Ako krivulju [math]y=\sqrt{-x^2+4}[/math] rotiramo oko osi [math]x[/math], obujam rotacijskog tijela koje nastaje, osim po formuli [math]V=\frac{4}{3}r^3\pi[/math], možemo izračunati korištenjem integrala, odnosno po formuli [math]V=\pi\int_a^by^2dx=\pi\int_a^b\left[\sqrt{-x^2+4}\right]^2dx[/math]. Uočimo kako smo dobili jednak obujam.[br][br]Slično, rotacijom lika omeđenog osi [math]y[/math] te krivuljom [math]x=f(y),y\in\left[c,d\right][/math] oko osi [math]y[/math] nastaje rotacijsko tijelo čiji je obujam [math]V=\pi\int_c^dx^2dy=\pi\int_c^d\left[f\left(y\right)\right]^2dy[/math].[br]