Dalle considerazioni sulla figura ne deduciamo che
, quindi
, quindi
. Riprendiamo ora l'espressione
che era comparsa nei nostri calcoli, essa può essere scomposta in
; la prima parentesi è sempre positiva per quanto appena osservato, mentre la seconda lo è perchè somma di due distanze, quindi di due quantità positive.
Dato è una quantità positiva, la rappresentiamo come il quadrato di un numero, che chiamiamo : per ora ci serve per rendere più leggibile l'equazione che abbiamo trovato,
vedremo che in realtà ha un ruolo essenziale nel definire la geometria dell'ellisse.
Introduciamo quindi
, e usiamo la nuova lettera per riscrivere l'equazione trovata:
Dividendo infine tutto per
, che ci permette di la struttura particolarmente semplice dell'equazione dell'ellisse:
Concludiamo notando che se nella relazione che abbiamo utilizzato per introdurre
,
, ricaviamo la lettera
otteniamo
cioè la relazione Pitagorica presentata nel video introduttivo che lega tra loro i tre coefficienti dell'ellisse. In questa forma è forse più facile da ricordare:
riveste il ruolo dell'ipotenusa, cioè il lato più lungo, ed infatti vedremo che in questo tipo di ellissi il semiasse orizzontale è il più lungo.
PRIMI ESEMPI E CONSIDERAZIONI
Abbiamo ricavato l'equazione di un'ellisse
riferita agli assi, cioè i cui fuochi sono su uno degli assi cartesiani e sono simmetrici rispetto all'origine; questa forma dell'equazione è detta anche
canonica. Abbiamo visto che essa segue questo modello:
In particolare l'abbiamo ottenuta nel caso in cui i fuochi siano sull'asse
, vedremo poi cosa cambia e cosa resta identico nel caso in cui i fuochi siano sull'altro asse.
Nell'esempio che abbiamo fatto noi avevamo
e
, quindi l'equazione diventa:
A volte si eliminano le frazioni facendo il denominatore comune. In questo caso il denominatore comune è
ed otteniamo
In questa forma vediamo che l'equazione di un'ellisse assomiglia a quella di una circonferenza, ma i coefficienti di e di non sono uguali tra loro, confermando che l'andamento lungo i due assi non è più lo stesso. Ovviamente per tornare indietro alla forma canonica basta dividere ad entrambi i membri per 225.
ESEMPIO
Trova i valori di
,
e
dell'ellisse
Trovo innanzitutto la forma canonica dividendo per 36 (così a secondo membro mi resta 1, come nella forma canonica):
Da qui capisco che
e
. Per trovare
uso la relazione pitagorica tra i tre coefficienti:
quindi
, da cui otteniamo che
.
DALL'EQUAZIONE AL SIGNIFICATO DI a e b
Partendo dall'equazione canonica, si può verificare che e sono proprio le misure dei due semiassi dell'ellisse, come abbiamo detto all'inizio. Infatti se cerchiamo le intersezioni con l'asse delle
troviamo:
Quindi l'ellisse incontra l'asse
nei punti
e
.
Allo stesso modo si può verificare che l'ellisse incontra l'asse delle
nei punti
e
; disegnando l'ellisse e questi suoi punti di intersezione si vede che
e
sono effettivamente la metà delle due dimensioni dell'ellisse stessa.
I punti
,
,
e
sono chiamati
vertici dell'ellisse, in quanto, come si può vedere visivamente, ne limitano l'estensione (sono i suoi "estremi" nelle quattro direzioni).
