Partiamo da un problema di geometria analitica elementare: vogliamo calcolare la distanza tra due punti allineati con uno dei due assi cartesiani. Questo ci semplifica le cose, perché i punti condividono lo stesso valore per una delle due coordinate e quindi la loro distanza "si esprimerà" tutta lungo l'altra coordinata...

Ovviamente una dimostrazione analoga ci porterebbe ad una conclusione analoga per due punti che hanno la stessa coordinata [math]\large{y}[/math], come mostrato nel seguente esempio.[br][br][color=#0000ff][b]ESEMPIO 1: [/b]Considera i due punti [math]\large{P(4,3)}[/math] e [math]\large{Q(7,3)}[/math]. [br]Cerca di visualizzarli sul piano: come saranno disposti rispetto ai due assi?[br]Come potremo calcolare la loro distanza? [br]Disegnali sul piano e verifica le tue ipotesi decidendo quale operazione devi fare per calcolare la loro distanza.[/color]

Riassumendo:[br][list][*]se due punti hanno una delle due coordinate uguali tra loro, sono allineati rispetto ad uno degli assi[/*][*]la loro distanza si calcola con la differenza tra le coordinate non uguali[/*][*]di solito si sceglie di calcolare [math]\large{\textcolor{red}{coordinata\ secondo\ punto\ -\ coordinata\ primo\ punto}}[/math] e di porre il risultato tra [b]valore assoluto[/b] per assicurarci che esso sia positivo.[/*][/list][br]Approfondiamo l'operatore di valore assoluto nel prossimo paragrafo.[br][br][size=150][color=#ff0000]L'OPERATORE VALORE ASSOLUTO[/color][/size][br]L'operatore [b]valore assoluto[/b] (o [b]modulo[/b]) è rappresentato da due linee verticali ed è chiamato così perché restituisce appunto il valore assoluto (o modulo) del proprio argomento. Di fatto quindi ne rimuove il segno, e questo ha ovviamente un effetto significativo quando il segno originale è negativo.[br][br][math]\mid-3\mid=3[/math] (il segno meno è stato rimosso ed è rimasto il modulo, cioè 3)[br]   [br][math]\mid+3\mid=3[/math]   (in questo caso anche il numero originale era positivo, quindi non è cambiato niente)[br][br][b][color=#ff0000]L'effetto finale è quindi quello di avere sempre quantità positive: se quella originale era già positiva viene lasciata invariata, mentre se era negativa di fatto le viene cambiato il segno.[/color][br][/b][br][b]Questo operatore può essere utilizzato ogni volta che ci si deve assicurare che il risultato di un'operazione sia positivo, come nel nostro caso, dato che la misura di una distanza non può essere negativa.[/b][br][br]Come visto nell'esempio, l'operatore di valore assoluto ci permette di utilizzare sempre la stessa formula per calcolare la lunghezza di un segmento - coordinata del SECONDO punto meno quella del PRIMO - indipendentemente dal loro valore (perché tra le due possibilità si è scelto quest'ordine, secondo te?).[br][br][b][color=#1155cc]ESEMPIO[/color][br][color=#3d85c6]Prova a capire PRIMA di disegnarlo come è orientato il segmento che ha per estremi i punti [math]\large{P(4,5)}[/math] e [math]\large{Q(-6,5)}[/math], poi calcola la sua lunghezza.[/color][br][/b][br]I due punti hanno la stessa y, quindi sono "alti" uguali: il segmento è "orizzontale", cioè parallelo all'asse delle x, le ascisse. [br][br]Per trovare la distanza tra i due punti sottraiamo le coordinate diverse tra loro, [b]la seconda meno la prima[/b]:[br][br][math]\Large{\overline{PQ}=\mid x_Q-x_P\mid = \mid -6-(+4)\mid =\mid -6-4\mid =\mid -10\mid = 10}[/math][br][br][b][color=#cc0000]ATTENZIONE: PICCOLA ANTICIPAZIONE[/color][/b][br]Un altro aspetto interessante del modulo è che ci permette di [i]costruire l'espressione [/i]della lunghezza di un segmento [i]senza dover necessariamente sapere tutti i valori numerici delle coordinate dei suoi estremi[/i]. [br][br][b][color=#1155cc]ESEMPIO[/color][br]Come è orientato il segmento di estremi [math]\large{P(3s-2,s-7)}[/math] e [math]\large{Q(3s-2,2s)}[/math], dove [math]\large{s}[/math] è un numero qualsiasi? Esprimi la lunghezza del segmento.[/b][br][br]Anche senza sapere quanto vale [math]\large{s}[/math], si vede che i due punti hanno la stessa ascissa: sono "spostati lateralmente" della stessa quantità e quindi sono "impilati" in verticale: il segmento è parallelo all'asse delle ordinate, le y.[br][br]Esprimiamo la lunghezza del segmento ricorrendo al solito ragionamento: la differenza di quanto si sposta il secondo estremo rispetto al primo:[br][br][math]\Large{\overline{PQ}=\mid y_Q-y_P\mid = \mid 2s-(s-7)\mid =\mid s+7\mid}[/math][br][br]Per il momento non possiamo andare oltre, finché non sappiamo di più sul valore di [math]\large{s}[/math]. Da notare che NON sappiamo se [math]\large{s+7}[/math] è positivo o negativo: e se [math]\large{s}[/math] vale [math]\large{-10}[/math]?!!?[br][br][size=150][color=#ff0000]SEMPLICI EQUAZIONI E DISEQUAZIONI CON IL VALORE ASSOLUTO[br][/color][/size]Vediamo nell'animazione qui sotto come collegare il VALORE ASSOLUTO al concetto di DISTANZA ci permette di risolvere facilmente alcune equazioni e disequazioni in cui compare questo operatore.[br][br]Questo metodo è applicabile solo nei casi più semplici (in cui un valore assoluto è confrontato con una quantità costante) e per casi più complessi è necessario utilizzare altri approcci, ma è comunque utile perché permette di collegare la tecnica risolutiva ad una profonda comprensione dell'operatore valore assoluto.

[size=150][b][color=#ff0000]VERSO L'ANALISI (CLASSI 4° E 5°)[br][/color][/b][/size]Dato che il valore assoluto ci permette di esprimere la [b]distanza[/b] da un valore di riferimento, [b]è uno strumento essenziale per esprimere il fatto che ci stiamo [u]avvicinando[/u] a questo valore di riferimento, ovvero che stiamo valutando un limite per x che tende a questo valore[/b].[br][br]Ad esempio se vogliamo dire che stiamo studiando una funzione per le [b]x vicine al valore 2[/b], possiamo esprimerlo affermando che [b]la distanza delle x da 2 deve essere meno di un certo valore molto piccolo [math]\large{\delta}[/math][/b] (più piccolo è [math]\large{\delta}[/math], più vicine saranno le x):[br][br][math]\Large{|x-2|<\delta}[/math] [br][br]che come abbiamo visto significa dire che x è compreso tra i valori[br][br][math]\Large{2- \delta < x< 2+ \delta}[/math][br][br]Allora se stiamo considerando il limite[br][br][math]\Large{\lim_{\textcolor{blue}{x \to 2}}\textcolor{red}{2x+1} = \textcolor{#ff8800}{5}}[/math][br][br]stiamo dicendo che [br][list][*][b][color=#0000ff]quando le x sono abbastanza vicine al 2[/color][/b],[/*][*][math]\textcolor{red}{\large{2x+1}}[/math] [color=#ff0000][b]deve avvicinarsi a [color=#ff7700]5[/color][/b][/color][/*] [/list]traducendo le due frasi in disequazioni con i moduli abbiamo [br][list][*]se le x sono comprese tra [math]\textcolor{blue}{\large{2- \delta < x< 2+ \delta}}[/math], dove [math]\large{\delta}[/math] è una distanza piccola a piacere[/*][*]allora [math]\textcolor{red}{\large{2x+1}}[/math] [color=#ff0000]deve distare da [b][color=#ff7700]5[/color][/b][/color] meno di un certo valore [math]\textcolor{red}{\Large{\varepsilon}}[/math] piccolo a piacere, cioè [math]\textcolor{red}{\large{|\textcolor{black}{2x+1}-\textcolor{#ff8800}{5}|<\varepsilon \implies \textcolor{#ff8800}{5}- \varepsilon<\textcolor{black}{2x+1}< \textcolor{#ff8800}{5}+ \varepsilon}}[/math][/*][/list][br](le distanze lungo le x e lungo le y, [math]\large{\delta}[/math] e [math]\large{\varepsilon}[/math], in generale [i]non[/i] sono la stessa, l'importante è che [i]entrambe diventino piccole a piacere[/i], cioè che ci stiamo avvicinando).[br][br]Entreremo più nel dettaglio nella dimostrazione formale del limite, che puoi trovare in [url=https://www.geogebra.org/m/p4MsuxhB]questa pagina[/url].

Uno dei modi per interpretare la legge (ed il grafico) di una retta è di leggervi come una grandezza cambia rispetto ad un'altra. In questo paragrafo approfondiremo questo approccio, e studieremo le caratteristiche dell'equazione di una retta, cercando di capire cosa indica ognuna di esse. [br][br]Per fare questo presenteremo un semplice esempio concreto.[br][br][b][color=#0000ff]ESEMPIO 1:[/color][/b] [color=#0000ff]supponiamo che la quantità di soldi in mio possesso cambi in base ai giorni trascorsi, secondo la legge [/color][math]\large{S=2+3G}[/math][color=#0000ff]. Studia le caratteristiche dell'andamento dei miei soldi rispetto ai giorni che passano.[/color] [br][br]Nella prossima animazione definiremo il significato dei numeri che compaiono in questa espressione, come abbiamo imparato a fare in algebra, e vedremo che proprietà indicano della retta che otteniamo rappresentando questa legge.

[b][color=#ff0000]PROBLEMA GENERALE[br]Stiamo studiando che rappresentazione hanno le espressioni di primo grado in [/color][/b][math]x[/math], cioè del tipo [math]mx+q[/math], dove [math]m[/math] e [math]q[/math] sono due numeri qualsiasi.[br][br]Per metterli su un grafico chiamiamo [math]y[/math] il risultato dell'espressione (quindi [math]y=mx+q[/math]) e disegniamo alcuni punti scegliendo delle [math]x[/math] a caso e calcolando le corrispondenti [math]y[/math].[br][br][size=150][b][color=#ff0000]IL PRIMO CASO PARTICOLARE: QUANDO m=0[/color][/b][/size][br]In questo primo esempio studiamo un caso particolare in cui scegliamo [math]m=0[/math], così otteniamo l'espressione piuttosto semplice [math]y=q[/math] ed iniziamo a capire che ruolo ha [math]q[/math]: cosa cambia se scegliamo una [math]q[/math] oppure un'altra?[br][br]Nel grafico sotto puoi inserire un valore qualsiasi per [math]q[/math]. Viene mostrata l'espressione corrispondente e vengono calcolati alcuni punti: per la [math]x[/math] sono stati scelti tre valori a caso (0, 5 e -3), poi c'è un quarto punto in cui puoi impostare tu il valore della [math]x[/math] che preferisci. - come vedi l'equazione della retta fa sì che in ogni caso la [math]y[/math] rimanga sempre uguale.

[size=150][b][color=#ff0000]QUALCHE DOMANDA PER VEDERE SE HAI CAPITO[br][/color][/b][/size]Prova a rispondere alle domande qui sotto per verificare se hai capito le caratteristiche di questo tipo di rette.

In questo paragrafo ci occupiamo delle leggi che ci permettono di descrivere una [br][b]traslazione [/b]nel piano, cioè uno spostamento rigido lungo una determinata direzione. Inizieremo utilizzando un [b][color=#38761d]approccio puramente algebrico[/color][/b].

Riassumendo, una traslazione di vettore [math]\large{\textcolor{blue}{\vec{v}(x_V\ , y_V)}}[/math] porta a delle [color=#ff0000]nuove coordinate, traslate,[/color] ottenute tramite le leggi[br][br][math]\Large{\begin{cases}\textcolor{red}{x'}=x+\textcolor{blue}{x_V}\\\textcolor{red}{y'}=y+\textcolor{blue}{y_V}\end{cases}\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad(1)}[/math][br][br]per ottenere la curva traslata è necessario scriverne la legge esprimendola non più attraverso le coordinate originarie bensì [color=#ff0000]utilizzando le[/color] [color=#ff0000]coordinate traslate[/color]. Bisogna quindi invertire le leggi ed esplicitare le vecchie coordinate, ottenendo così l'espressione con cui bisogna sostituirle[br][br][math]\Large{\begin{cases}x= \textcolor{red}{x'}-\textcolor{blue}{x_V}\\y = \textcolor{red}{y'}-\textcolor{blue}{y_V}\end{cases}\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad(2)}[/math][br][br][b][color=#0000ff]NOTA:[/color][/b] gli apici nelle lettere [math]\large{\textcolor{red}{x'}}[/math] e [math]\large{\textcolor{red}{y'}}[/math] servono solo per distinguere le coordinate traslate da quelle originali. Dato però che si tratta sempre di coordinate nello stesso piano cartesiano, di fatto possiamo evitare questa doppia simbologia. [color=#0000ff][b]Per effettuare una traslazione di vettore [math]\large{\textcolor{blue}{\vec{v}(x_V\ , y_V)}}[/math] dobbiamo quindi effettuare le seguenti sostituzioni:[/b][/color][br][br][math]\Large{\begin{cases}x\quad \longrightarrow \quad x-\textcolor{blue}{x_V}\\y \quad \longrightarrow \quad y-\textcolor{blue}{y_V}\end{cases}\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad(2.1)}[/math][br][br][size=100][size=150][color=#ff0000]INTERPRETAZIONE GEOMETRICA DELLE TRASLAZIONI[/color][/size][/size][br]I calcoli che abbiamo appena visto possono essere interpretati [b][color=#38761d]dal punto di vista geometrico[/color][/b], per comprendere ancora meglio il significato di queste operazioni. Vediamolo con un esempio numerico.[br][br]Applicare la traslazione [math]\large{\textcolor{blue}{\vec{v}(3, 2)}}[/math] significa traslare l'origine del sistema di riferimento, [math]\large{O(0,0)}[/math] in una nuova origine [math]\large{\textcolor{blue}{O'(3, 2)}}[/math].[br][br]Osservando le sostituzioni [math]\large{(2.1)}[/math] , quelle da applicare in questo caso sono:[br][br][math]\Large{\begin{cases} x \quad \longrightarrow \quad x-\textcolor{blue}{3}\\y \quad \longrightarrow \quad y-\textcolor{blue}{2}\end{cases}}[/math][br][br]questo fa sì che [b][color=#38761d]il ruolo che nella curva originaria era ricoperto dall'origine [/color][math]\large{O(0,0)}[/math][color=#38761d], ora è svolto dal punto[/color] [math]\large{\textcolor{blue}{O'(3, 2)}}[/math][/b], infatti: [br][list][*]la [math]\large{x}[/math] che compare nella funzione originaria [u]non è altro che la distanza "orizzontale" di ogni ciascun punto della curva dall'origine [/u][math]\large{O}[/math]: [color=#0000ff]nella nuova curva viene sostituita da [math]\large{x-\textcolor{blue}{3}}[/math], cioè la distanza "orizzontale" dalla [b]nuova[/b] origine [/color][math]\large{\textcolor{blue}{O'(3, 2)}}[/math][/*][*]allo stesso modo la [math]\large{y}[/math] che compare nell'equazione della curva originale rappresenta la distanza " verticale" dall'origine [math]\large{O}[/math], e [color=#0000ff]nella nuova curva ne prende il posto [math]\large{y-\textcolor{blue}{2}}[/math], cioè la distanza "verticale" dalla [b]nuova[/b] origine [/color][math]\large{\textcolor{blue}{O'(3, 2)}}[/math][/*][/list] Vediamo questo concetto nella seguente animazione.[br][br]

la si può vedere anche così: [b][color=#ff0000]nella funzione [/color][/b][color=#ff0000][b]al posto di [math]\large{x}[/math] ed [math]\large{y}[/math] sostituiamo i due "binomi di Ruffini"[/b] [math]\large{x-\textcolor{red}{6}}[/math] [b]e[/b] [math]\large{y-\textcolor{red}{1}}[/math][b]. [/b]Essi ci garantiscono proprio che[b] quanto prima accedeva nell'origine (cioè quando [/b][/color][math]\large{x=0\ \textrm{ e } y=0}[/math][color=#ff0000][b]) ora si verifichi in [/b][/color][math]\large{\textcolor{blue}{O'(6,1)}}[/math][color=#ff0000][b], dato che le coordinate di questo punto sono quelle che per definizione azzerano i due binomi[/b][/color].[br][br][size=150][color=#ff0000]UN'APPLICAZIONE: RETTE PASSANTI PER UN PUNTO[/color][/size][br]Nella prossima animazione vediamo un esempio di applicazione delle traslazioni: se cerchiamo tutte le rette che passano per un dato punto possiamo [br][list][*]prendere le rette passanti per l'origine, cioè [math]\large{y=\textcolor{blue}{m}x}[/math], con [math]\large{\textcolor{blue}{m}}[/math] che cambia per ogni retta;[/*][br][*]traslarle un modo che l'origine venga traslata sul punto desiderato: [b]le traslazioni fanno sì che il ruolo che prima era svolto dell'origine sia coperto dal nuovo punto[/b]. [/*][/list]

Nell'animazione qui sopra abbiamo visto che per trovare tutte[color=#ff0000]*[/color] le rette che passano per un punto [math]\large{\textcolor{blue}{A(x_A, y_A)}}[/math] si può utilizzare la formula[br][br][math]\Large{y-\textcolor{blue}{y_A} = \textcolor{red}{m}(x-\textcolor{blue}{x_A})}[/math][br][br]dove [math]\large{\textcolor{red}{m}}[/math] è il coefficiente angolare a cui dare i vari valori per ottenere le diverse rette. [br][br]Alcuni libri presentano questa formula senza dare molte altre spiegazioni. Noi invece siamo in grado di darle un significato: [b]abbiamo preso le rette [math]\large{y=\textcolor{red}{m}x}[/math], che sono tutte[color=#1155cc]**[/color] quelle che passano per l'origine, e le abbiamo traslate portando l'origine nel punto [math]\large{\textcolor{blue}{A(x_A, y_A)}}[/math], quindi adesso passano tutte di lì[/b]. [br][br]Anche in questo caso è evidente che [b][color=#ff0000]la sostituzione introduce [/color][/b][color=#ff0000][b]due "binomi di Ruffini"[/b] [math]\large{x-\textcolor{blue}{x_A}}[/math] [b]e[/b] [math]\large{y-\textcolor{blue}{y_A}}[/math][b]. In questo caso essi ci garantiscono il passaggio della retta per [/b][/color][math]\large{\textcolor{blue}{A}}[/math][color=#ff0000], dato che [/color][color=#ff0000]le coordinate [/color][color=#0000ff]del punto A[/color][color=#ff0000] annullano e rendono uguali i due membri dell'equazione [/color][math]\large{y-\textcolor{blue}{y_A} = \textcolor{red}{m}(x-\textcolor{blue}{x_A})}[/math][color=#ff0000]qualunque sia la [/color][math]\large{\textcolor{red}{m}}[/math][color=#ff0000] della retta specifica[b], esattamente come le coordinate[/b] [/color][math]\large{\textcolor{black}{O(0, 0)}}[/math][color=#ff0000] [b]azzerano e rendono uguali tra loro i due membri di[/b] [/color][math]\large{y=\textcolor{red}{m}x}[/math][color=#ff0000] qualunque sia la [/color][math]\large{\textcolor{red}{m}}[/math][color=#ff0000] della retta specifica[/color].[br][br][color=#ff0000]* [/color][size=85]In realtà questa formula non include, tra tutte le rette che passano per il punto [math]\large{\textcolor{blue}{A}}[/math], quella parallela all'asse [math]\large{y}[/math] - cioé [math]\large{x=x_A}[/math] - che non può essere rappresentata in forma esplicita.[br][/size][color=#0000ff]** [/color][size=85]Per la stessa ragione vista alla nota precedente questa forma non può rappresentare la retta passante per l'origine [math]\large{x=0}[/math], che deve essere aggiunta a parte.[br][/size][br][br][br]Se trasliamo una circonferenza vediamo un altro caso in cui è evidente che l'effetto della traslazione è di assegnare ad un nuovo punto il ruolo che era inizialmente dell'origine; lo mostriamo qui sotto.[br][br][br]

[size=150][color=#ff0000]ALTRI MODI PER RAGIONARE SULLE FORMULE DI TRASLAZIONE[/color][/size][br]Un ulteriore approccio per familiarizzare con le traslazioni è quello di ragionare sul loro effetto sulla curva in termini di spostamento. Lo facciamo nell'animazione qui sotto, partendo da spostamenti elementari e poi combinandoli tra loro.

Anche in questo caso abbiamo che la versione traslata di [math]\large{y=\textcolor{red}{a}x^2}[/math] è [math]\large{y-\textcolor{blue}{y_A}=\textcolor{red}{a}(x-\textcolor{blue}{x_A})^2}[/math]: dove prima c'erano [math]\large{x \textrm{ ed } y}[/math], che diventano zero nell'origine, ora ci sono i due binomi di Ruffini, che diventano zero nelle coordinate di [math]\large{A}[/math]. [br][br]Vediamo ora un paio di esempi svolti per dare concretezza a quello che abbiamo imparato.[br][br][color=#0000ff][b]Esempio 2:[/b][/color] [color=#0000ff]trasla la parabola [/color][math]\large{y=3x^2}[/math][color=#0000ff] in modo che il suo vertice sia in [/color][math]\large{\textcolor{blue}{V\left(-3,5\right)}}[/math][color=#0000ff].[br][/color]Applicando le trasformazioni corrispondenti alla traslazione richiesta otteniamo la parabola di equazione [math]\large{y-\textcolor{blue}{5}=3(x+\textcolor{blue}{3})^2}[/math], che svolgendo i calcoli e portata in forma esplicita diventa [math]\large{y=3x^2+18x+34}[/math].[br][br]Da notare che il coefficiente [math]\large{\textcolor{blue}{a}}[/math] è rimasto identico, infatti la traslazione ha spostato la parabola senza modificarne la geometria.[br][br][color=#0000ff][b]Esempio 3:[/b] considera la parabola [math]\large{y=2x^2-16x+34}[/math] ed applicando il metodo di completamento del quadrato risali alle coordinate del suo vertice ed alle sue caratteristiche.[/color][br]Per applicare il metodo di completamento conviene isolare i termini con cui si vuole ricostruire il quadrato di binomio, che in questo caso sono quelli con la [math]\large{x}[/math]:[br][br][math]\large{y-34=2x^2-16x}[/math][br][br]raccogliamo il [math]\large{2}[/math] a secondo membro in modo che la [math]\large{x}[/math] appaia con coefficiente [math]\large{1}[/math], come succede nei binomi di Ruffini:[br][br][math]\large{y-34=\textcolor{blue}{2}\cdot (x^2-8x)}[/math][br][br]Se [math]\large{-8x}[/math] è il doppio prodotto, il secondo numero è [math]\large{\textcolor{#007700}{4}}[/math], che elevato al quadrato fa [math]\large{\textcolor{#007700}{16}}[/math]: aggiungiamolo dentro la parentesi e bilanciamo opportunamente a primo membro[br][br][math]\large{y-34\textcolor{#007700}{+32}=\textcolor{blue}{2}\cdot (x^2-8x\textcolor{#007700}{+16})}[/math][br][br](da notare che a primo membro abbiamo aggiunto [math]\large{\textcolor{#007700}{32}}[/math] perché a secondo membro il [math]\large{\textcolor{#007700}{16}}[/math] lo abbiamo aggiunto all'interno di una parentesi che è moltiplicata per [math]\large{\textcolor{#007700}{2}}[/math], e quindi di fatto abbiamo aggiunto il doppio).[br][br]Abbiamo praticamente terminato: non ci resta che svolgere i calcoli a primo membro e riconoscere il quadrato di binomio al secondo, per riconoscere la traslazione effettuata: [br][br][math]\large{y\textcolor{red}{-2}=\textcolor{blue}{2}\cdot (x\textcolor{red}{-4})^2}[/math][br][br]Si tratta quindi della parabola [math]\large{y=\textcolor{blue}{2}x^2}[/math] (rivolta verso l'alto, schiacciata verso l'alto) traslata con il vertice nel punto [math]\large{V(\textcolor{red}{4}, \textcolor{red}{2})}[/math].[br][br]

[size=150][color=#ff0000]INTERPRETARE LE TRASLAZIONI[br][/color][/size]Non esiste un'interpretazione generale applicabile a tutte le traslazioni: ognuna va valutata per le sue caratteristiche e la funzione a cui è applicata. Gli esempi più immediati sono quelli che riguardano traslazioni lungo uno singolo dei due assi cartesiani. Nel primo esempio vediamo un caso concreto di traslazione "verticale".

Le traslazioni lungo l'asse delle [math]\large{x}[/math] "spostano" la funzione lungo la variabile di [i]input[/i]. Se questa rappresenta, come spesso capita, il tempo, applicare una traslazione di questo tipo implica anticipare o ritardare il fenomeno descritto dalla funzione.

Le coniche sono un insieme di curve piuttosto complesse che possono essere definite in diversi modi. In questo paragrafo vedremo i vari modi in cui sono definite le coniche, e ne inizieremo a vederne qualcuna. Si tratta solo di una carrellata introduttiva per dare delle definizioni e farci una prima idea: approfondiremo poi le caratteristiche di ogni conica un po' per volta...[br][br][size=150][color=#ff0000]DEFINIZIONE ALGEBRICA[/color][/size][br]Il grafico più semplice che possiamo disegnare su un piano è quello della retta. Infatti abbiamo visto che è la rappresentazione di una equazione di primo grado in due incognite, che nella sua forma più generale è scritta come:[br][br][math]\Large{\textcolor{red}{a}x+\textcolor{red}{b}y+\textcolor{red}{c} = 0}[/math][br][br](questa equazione contiene tutti i possibili monomi di grado 1, o inferiore, nelle due lettere [math]\large{x}[/math] e [math]\large{y}[/math])[br][br]Sostituendo ai parametri [math]\large{\textcolor{red}{a}}[/math], [math]\large{\textcolor{red}{b}}[/math] e [math]\large{\textcolor{red}{c}}[/math] tre valori, otteniamo tutte le possibili rette; ad esempio se [math]\large{\textcolor{red}{a}=2}[/math], [math]\large{\textcolor{red}{b}=-3}[/math] e [math]\large{\textcolor{red}{c}=-6}[/math] otteniamo:[br][br][math]\Large{\textcolor{red}{2}x\textcolor{red}{-3}y\textcolor{red}{-6} = 0}[/math][br][br]In questo caso l'equazione può essere portata in forma esplicita e diventa:[br][br][math]\Large{y=\textcolor{red}{\frac{2}{3}}x-\textcolor{red}{2}}[/math][br][br]Volendo proseguire questo discorso per [b]rappresentare tutte le possibili equazioni in due incognite [color=#ff0000]di secondo grado[/color][/b], dobbiamo scrivere un'equazione in cui compaiono [b]tutti i monomi di grado 2 o inferiore nelle due incognite [/b][math]\large{x}[/math][b] e [/b][math]\large{y}[/math]. Inserendo tutte le combinazioni possibili otteniamo l'equazione:[br][br][math]\Large{\textcolor{red}{a}x^2+\textcolor{red}{b}y^2+\textcolor{red}{c}xy+\textcolor{red}{d}x+\textcolor{red}{e}y+\textcolor{red}{f} = 0}[/math][br][br][color=#0000ff][b]NOTA:[/b] ricorda che il grado di un monomio è dato dalla [u]somma dei gradi delle lettere che vi compaiono[/u], quindi [math]\large{{xy}}[/math] è un monomio di [u]secondo[/u] grado perché la somma del grado di [math]\large{x}[/math] e quello di [math]\large{y}[/math] è [math]\large{1+1=2}[/math]. Questa definizione ha senso se pensiamo che [math]\large{{xy}}[/math] può essere visto come il risultato del prodotto di due monomi di primo grado, e quindi è ragionevole considerarlo di secondo grado. [/color][b][br][br]Sostituendo ai sei parametri in rosso dei valori a scelta[/b] (stando attenti a non mettere a zero sia [math]\large{x^2}[/math] che [math]\large{y^2}[/math] che [math]\large{xy}[/math], altrimenti non sarà più un'equazione di secondo grado e torneremo ad una retta!) [b]otterremo effettivamente tutte le possibili curve, che cambiano a seconda dei parametri che scegliamo. L'insieme di tutte le possibili curve che troviamo sono chiamate "coniche"[/b]. [br][br]Vediamone alcune

[size=150][color=#ff0000]DEFINIZIONE GEOMETRICA[/color][/size][br]Un'altra caratteristica molto interessante in comune tra tutte le coniche è che sono tutte dei [b]luoghi geometrici[/b], cioè degli insiemi di punti che hanno una caratteristica in comune. [br][br]Ogni conica è definita da una sua propria caratteristica che la distingue dalle altre; la più semplice è la [b]circonferenza[/b], che come sappiamo è "l'insieme di tutti i punti che hanno una certa distanza da un punto detto [b]centro[/b]". Questa distanza viene chiamata [b]raggio[/b] della circonferenza.[br][br]Supponiamo per esempio di voler scrivere l'equazione a cui ubbidiscono tutti i punti che hanno distanza [math]\large{3}[/math] dal centro [math]\large{C(4,5)}[/math] - ti ricordi come si calcola la distanza tra due punti? Vedremo che scrivendo questa condizione e svolgendo i conti otterremo quanto mostrato qui sotto.

[color=#ff0000][size=150]MA... PERCHÈ SI CHIAMANO CONICHE?!?[/size][/color][br]le definizioni date finora non ci spiegano come mai le coniche hanno questo nome. [br][br]l motivo è il seguente: se in uno spazio TRIDIMENSIONALE [b]intersechiamo un cono [/b]([b]o meglio un [i]ipercono[/i][/b], perché deve svilupparsi in entrambe le direzioni rispetto al proprio vertice) [b]con un piano, inclinando il piano nei vari possibili modi otteniamo... delle coniche![br][br][/b]Niente paura! presentiamo questo aspetto perché è interessante e ci spiega la ragione di questo nome, ma nei nostri calcoli approfondiremo solo gli altri due approcci!

Osservando l'intersezione tra il piano ed il cono, cioè la linea arancione, puoi vedere come al cambiare dell'inclinazione del cono otteniamo delle curve diverse: i vari tipi di coniche.

[size=150][b][color=#ff0000]IL NOSTRO PERCORSO VERSO LA SOLUZIONE[br][/color][/b][/size]In questo capitolo vogliamo imparare un metodo [i]grafico[/i], cioè che si aiuta con la [i]visualizzazione[/i] su un disegno, per risolvere le disequazioni di secondo grado. Questo metodo si chiama [b]"metodo della parabola"[/b] perché si utilizza in particolare con le espressioni di secondo grado che, disegnate sul piano, sono rappresentate da una curva chiamata appunto "parabola". Il metodo consiste nel disegnare la parabola associata alla nostra disequazione e ad usare il grafico per trovare le soluzioni. Per arrivare alla soluzione finale [u]capendo[/u] quello che stiamo facendo, seguiremo un percorso in tre passi:[list=1][*]faremo un [b]esempio concreto[/b] di un problema per capire meglio cosa stiamo cercando[/*][*]vedremo come la [b]rappresentazione grafica[/b] ci aiuta a "vedere" la soluzione[/*][*]perfezioneremo il metodo capendo [b]quali sono le informazioni essenziali che ci servono per disegnare la parabola[/b], in modo da calcolare solo quelle e lasciar perdere il resto[/*][/list][b][color=#ff0000][br][br][br]UN ESEMPIO PER PARTIRE[br][/color][/b]Partiamo da un esempio concreto, da cui cercheremo di ottenere un metodo generale valido per tutti i casi. [b]Vogliamo studiare come cambiano i soldi che ho in banca, particolare voglio sapere in quali giorni NON ho debiti (quindi in quali giorni il mio conto NON è negativo).[/b] [br]Nel nostro esempio i soldi sul mio conto possono essere calcolati con la legge:[center][math]S=2g^2-7g-4[/math][/center]dove [math]g[/math] è il numero di giorni passati rispetto ad oggi. Quindi se voglio sapere i soldi che avrò domani, cioè fra 1 giorno, dovrò fare il calcolo con [math]g=1[/math], cioè [math]S\left(\textcolor{red}{1}\right)=2\cdot\textcolor{red}{(1)}^2-7\cdot\textcolor{red}{(1)}-4=-9[/math] (l'espressione [math]S\left(1\right)[/math] significa "calcolo [math]S[/math] quando la grandezza da cui dipende vale 1").[br][br]Se invece voglio i soldi che di due giorni fa (cioè fra [math]-2[/math] giorni) calcolo [math]S\left(\textcolor{red}{-2}\right)=2\cdot\textcolor{red}{(-2)}^2-7\cdot\textcolor{red}{(-2)}-4=18[/math] (fai i conti sul quaderno per essere sicura/o di aver capito il ragionamento).[br][b][color=#ff0000][br][br]Nel nostro esempio ci interessa sapere in quali giorni non ho debiti, cioè il mio conto deve essere [u]positivo[/u][/color][/b]. Voglio quindi trovare quali valori di [math]g[/math], sostituiti nell'espressione [math]2g^2-7g-4[/math], restituiscono un risultato maggiore di zero (cioè positivo, appunto). [list][/list][color=#ff0000][b]Di fatto vogliamo risolvere la disequazione[/b] [/color][math]2g^2-7g-4>0[/math] [b][color=#ff0000]e trovare quali valori di [/color][/b][math]g[/math][b][color=#ff0000] la rendono vera[/color][/b].[br][br][b]Creiamo una semplice tabella[/b]: [list][*]nella prima colonna inseriamo dei valori per i giorni [math]g[/math] (per il momento li scegliamo a caso)[/*][*]nella seconda colonna calcoliamo il risultato, cioè i soldi che abbiamo.[/*][*]nella terza colonna ci segniamo se in quel giorno siamo in positivo o no (cioè se il valore che abbiamo scelto per la [math]g[/math] soddisfa o no la disequazione, quindi è soluzione o no)[/*][/list]Per maggiore chiarezza coloriamo in [color=#ff0000]rosso[/color] i valori che soddisfano la disequazione (le sue [u]soluzioni[/u]), in [color=#0000ff]blu[/color] quelli che non la soddisfano.[table][tr][td]VALORE DI [math]g[/math][/td][td]I SOLDI [math]S[/math] NEL GIORNO [math]g[/math][/td][td]NEL GIORNO [math]g[/math] ABBIAMO UN SALDO POSITIVO?[/td][/tr][tr][td][math]1[/math][/td][td][color=#0000ff][math]2\cdot\textcolor{red}{(1)}^2-7\cdot\textcolor{red}{(1)}-4=-9[/math][/color][/td][td][color=#0000ff]NO! il risultato è negativo! :([/color][/td][/tr][tr][td][color=#0000ff][math]3[/math][/color][/td][td][color=#0000ff][math]2\cdot\textcolor{red}{(3)}^2-7\cdot\textcolor{red}{(3)}-4=-7[/math][/color][/td][td][color=#0000ff]NO! il risultato è negativo! :([/color][/td][/tr][tr][td][color=#ff0000][math]5[/math][/color][/td][td][color=#ff0000][math]2\cdot\textcolor{red}{(5)}^2-7\cdot\textcolor{red}{(5)}-4=11[/math][/color][/td][td][color=#ff0000]SI! il risultato è positivo, come richiede la disequazione! :)[/color][/td][/tr][tr][td][color=#ff0000][math]-1[/math][/color][/td][td][color=#ff0000][math]2\cdot\textcolor{red}{(-1)}^2-7\cdot\textcolor{red}{(-1)}-4=5[/math][/color][/td][td][color=#ff0000]SI! il risultato è positivo, come richiede la disequazione! :)[/color][/td][/tr][/table]Continuando a compilare la tabella per [b]TUTTI[/b] i giorni possibili possiamo vedere in quali giorni abbiamo un conto in positivo ed in quali è negativo, e quindi abbiamo risolto il nostro problema. Il metodo funziona, ma è molto lungo e decisamente noioso. Nel prossimo paragrafo iniziamo a cercare un modo per renderlo più semplice aiutandoci con la rappresentazione sul piano di questi dati.

[size=150][b][color=#ff0000]UN METODO GRAFICO PER "VEDERE" IL RISULTATO PIÙ VELOCEMENTE[/color][/b][/size][br]Vediamo nell'animazione qui sotto come rappresentando sul piano le coppie che abbiamo trovato (ogni giorno in coppia con i soldi che ho in quel giorno) possiamo fare un primo passo per risolvere [i]graficamente[/i] (o [i]visivamente[/i]) il nostro problema.

[size=150][b][color=#ff0000]SEMPLIFICARE IL METODO: TROVARE LE INFORMAZIONI ESSENZIALI[br][/color][/b][/size][br]Tramite il grafico abbiamo ottenuto una rappresentazione visiva di quali sono i giorni in cui il nostro conto in banca è positivo e quali no. [b]Rimane però il problema che per vedere il grafico dobbiamo costruirlo, cioè calcolare tante coppie che ci indicano in ogni giorno quanti soldi abbiamo.[/b] [b][color=#ff0000]Riusciamo ad utilizzare il grafico senza dover calcolare tutti questi punti?[br][br][/color][/b]Per farlo [b]dobbiamo capire quali sono le caratteristiche davvero importanti del grafico e trovare solo quelle.[/b] [br][br]Ci accorgiamo che sono due:[list=1][*][color=#ff0000][b]i punti importanti del grafico sono quelli in cui abbiamo 0 soldi, perchè [u]sono quelli i punti che separano le parti rosse da quelle blu[/u].[/b][/color] Nel nostro esempio sono i punti [math]J[/math] ed [math]H[/math]. [color=#ff0000][b]I valori [/b][/color][math]x[/math][color=#ff0000][b] di questi punti in cui la [/b][/color][math]y[/math][color=#ff0000][b] vale [/b][/color][math]0[/math][color=#ff0000][b] si chiamano "zeri" della funzione[/b][/color]. Gli zeri della funzione "soldi in banca" sono quindi [math]-\frac{1}{2}[/math] , la [math]x[/math] del punto [math]J[/math], e [math]4[/math], la [math]x[/math] di [math]H[/math].[/*][*][b][color=#0000ff]l'altra cosa che dobbiamo sapere è l'orientamento del grafico[/color][/b], cioè dobbiamo per ogni zero dobbiamo sapere [b][color=#0000ff]se la funzione sta scendendo[/color][/b] da valori positivi a negativi (come nel punto [math]J[/math] nel nostro esempio) [color=#0000ff][b]o viceversa sta salendo[/b][/color] (come nel punto [math]H[/math]): non è detto che il primo punto sia sempre "in discesa" ed il secondo "in salita".[/*][/list][br][color=#ff0000][b]Per la prima questione dobbiamo chiederci quand'è che i nostri soldi valgono zero[/b][/color], cioè quand'è che [br][br][math]2g^2-7g-4=0[/math][br][br]gli zeri della funzione saranno i valori di [math]g[/math] che rendono vera l'equazione, cioè le sue soluzioni (usando la formula risolutrice si trova appunto [math]g=-\frac{1}{2}\vee g=4[/math].[br][b][color=#0000ff]Per il secondo aspetto dovremmo conoscere qualcosa di più sulla forma del grafico che abbiamo ottenuto[/color][/b]. Così come quando disegniamo un'espressione di primo grado sul piano otteniamo una retta, [b][color=#0000ff]quando disegniamo un'equazione di secondo grado [/color][/b](come quella che ci permette di calcolare i soldi del nostro esempio) [color=#0000ff][b]otteniamo una curva chiamata [/b][b]parabola[/b][/color].

[size=150][b][color=#ff0000]RIASSUMENDO...[/color][/b][/size][list=1][*]Per capire quando una espressione di secondo grado è positiva o negativa, [b]usiamo un metodo visivo: osserviamo il grafico dell'espressione, che è una parabola, e guardiamo in quali intervalli delle [math]x[/math] la parabola risulta positiva (cioè sopra l'asse) o negativa (sotto l'asse)[/b].[br][/*][*]Per disegnare il grafico [b]non abbiamo bisogno di calcolare tutti i punti della parabola: ci basta trovare le [math]x[/math] in cui l'espressione vale zero [/b](sono i punti in cui la parabola incontra l'asse [math]x[/math], che infatti ha equazione [math]y=0[/math], e quindi passa da sotto a sopra o viceversa)[/*][*]Disegnati questi due punti [b]osserviamo il coefficiente [/b][math]a[/math][b] per sapere se la parabola è rivolta verso l'alto o verso il basso: seguendo questa indicazione disegniamo una parabola che contiene tutte le informazioni necessarie per capire quali sono gli intervalli che ci interessano[/b].[/*][/list][br]Vediamo nell'animazione qui sotto un esempio di applicazione del metodo per chiarirci le idee.

Vediamo ora un paio di esempi un po' particolari di applicazione del metodo della parabola. Rivediamone i punti fondamentali. [br][br]Il metodo si basa sul determinare il grafico della parabola trovando due informazioni:[br][list=1][*]i punti in cui la parabola incontra l'asse delle [math]x[/math], [/*][*]L'orientamento della parabola, verso l'alto o verso il basso.[/*][/list][br]Concentriamoci sul punto 1. Sappiamo che per trovare le intersezioni una parabola qualsiasi [math]y=ax^2+bx+c[/math] con l'asse delle [math]x[/math], che ha equazione [math]y=0[/math], bisogna metterli a sistema[br][br][math]\begin{cases}y=ax^2+bx+c \\ y=0\end{cases}[/math][br][br]che. sostituendo lo [math]0[/math] al posto della [math]y[/math] nella prima equazione ci porta a[br][br][math]0=ax^2+bx+c[/math][br][br]Questa equazione viene chiamata [b]equazione associata[/b], perchè non è il nostro obiettivo principale, è solo un passaggio creato per risolvere meglio il problema iniziale. Come si vede è un'equazione di secondo grado e quindi può avere 2, 1 o anche 0 soluzioni. [b]È importante non dimenticare che le soluzioni di questa equazione non sono quelle della disequazione che stiamo risolvendo: questa equazione ci sta solo dicendo in che punti la parabola incontra l'asse x. POSSIAMO E DOBBIAMO COMUNQUE DISEGNARE LA PARABOLA, se [b]l'equazione associata è impossibile, ad esempio, [/b]vuol dire solo che la parabola NON tocca l'asse.[/b][br][br]Vediamo un esempio di questo tipo nella prossima animazione.

Vediamo infine come interpretare il caso in cui l'equazione associata abbia una sola soluzione: come disegnare una parabola che tocca l'asse [math]x[/math] in un solo punto?[br][br]L'esempio ci mostra anche che è importante confrontare OGNUNA delle condizioni richiesti dalla disequazione (nell'esempio che la quantità sia maggiore OPPURE uguale a zero) con quelle che la parabola soddisfa in uno o più dei suoi punti.

[size=150][color=#ff0000]UN ALTRO ESEMPIO DI LUOGO GEOMETRICO[/color][/size][br][br]La circonferenza è l'esempio più semplice, tra le coniche, di [b][color=#ff0000]luogo geometrico[/color][/b].[br][br]Ricordiamo che un luogo geometrico è [color=#ff0000][b]un insieme di punti che condividono tutti una stessa proprietà[/b][/color]. Abbiamo già visto esempi di luoghi geometrici parlando dell'asse di un segmento (vedi [url=https://www.geogebra.org/book/title/id/301483#material/303683]qui[/url]). [br][br]La proprietà che accomuna tutti i punti di una circonferenza è questa: [b][color=#ff0000]tutti i punti della circonferenza sono equidistanti da un certo punto fissato, detto CENTRO DELLA CIRCONFERENZA[/color][/b]. La distanza tra tutti i punti della circonferenza ed il centro, cioè, è sempre uguale; questa distanza si chiama RAGGIO della circonferenza.[br][br][u]Nell'animazione qui sotto[/u], vedremo i concetti appena esposti ed imposteremo la formula di una circonferenza di esempio. [br][br][u]Nel testo ancora di seguito[/u] continueremo i calcoli e troveremo l'equazione della circonferenza.

Proseguiamo i calcoli partendo dalla formula che abbiamo ottenuto, cioè:[br][br][math]\large{\sqrt{\left(x-\textcolor{red}{2}\right)^2+\left(y-\textcolor{red}{4}\right)^2}=\textcolor{blue}{2}}[/math][br][br]Prima di procedere ribadiamo che un'equazione in questa forma è l'[i]applicazione diretta[/i] della [i]definizione[/i] di circonferenza: sono tutti i punti [math]\large{P(x,y)}[/math] che hanno distanza dal centro, in questo caso [math]\large{\textcolor{red}{C(2,4)}}[/math], pari ad un certo valore, detto raggio, che in questo caso misura [math]\large{\textcolor{blue}{2}}[/math].[br][br]Ora rendiamo l'equazione più leggibile, ed innanzitutto eleviamo al quadrato sia il primo che il secondo membro, così sparisce la radice:[br][br][math]\large{\left(x-2\right)^2+\left(y-4\right)^2=4}[/math][br][br]Svolgiamo i calcoli dei due quadrati di binomio[br][br][math]\large{x^2+4-4x+y^2+16-8y=4}[/math][br][br]Portando tutto a primo membro ed ordinando per potenze decrescenti di [math]x[/math] e [math]y[/math] troviamo l'[b]equazione finale della nostra circonferenza[/b].[br][br][center][math]\Large{x^2+y^2-4x-8y+16=0}[/math][/center][br]Vedremo che i coefficienti della [math]x^2[/math] e della [math]y^2[/math] sono sempre uguali a [math]1[/math] (o comunque sono uguali tra loro, e se non valgono [math]1[/math] li possiamo far diventare tali dividendo tutto per il loro valore). Vedremo, quando ci occuperemo di ellissi ed iperboli che questo è dovuto al fatto che la circonferenza si "allunga" allo stesso modo nelle due direzioni, come invece non faranno le altre due coniche. [br][br]Dato che i primi due coefficienti non sono significativi dato che hanno lo stesso valore per tutte le circonferenze, possiamo dire che una circonferenza qualsiasi ha questa forma:[br][br][center][size=100][math]\Large{x^2+y^2+\textcolor{blue}{a}x+\textcolor{blue}{b}y+\textcolor{blue}{c}=0\qquad\qquad\qquad\qquad(1)}[/math][/size][/center]dove:[list][*][math]\textcolor{blue}{a}[/math] è il coefficiente della [math]x[/math] (nel nostro esempio vale -4)[/*][*][math]\textcolor{blue}{b}[/math] è il coefficiente della [math]y[/math] (nel nostro esempio vale -8)[/*][*][math]\textcolor{blue}{c}[/math] è il termine noto, cioè quello senza incognite (nel nostro esempio vale +16)[/*][/list][br][b][color=#ff0000]La forma (1) dell'equazione di una circonferenza è detta "canonica"[/color][/b], cioè [i]standard:[/i] è il formato in cui organizziamo i vari termini quando li mettiamo "in ordine", sapendo che è lo stesso formato usato da tutti. [br][br]Per alcuni versi è più chiaro e semplice: i conti sono tutti svolti, è un polinomio - quindi vi compaiono operazioni molto semplici - ed è evidentemente di secondo grado. Abbiamo però visto che il formato usato all'inizio di questo paragrafo, cioè [br][br][math]\large{\sqrt{\left(x-\textcolor{red}{2}\right)^2+\left(y-\textcolor{red}{4}\right)^2}=\textcolor{blue}{2}}[/math][br][br] è molto più CHIARO, perché se lo sappiamo leggere ci dice immediatamente il raggio ed il centro della circonferenza, cioè come è fatta. Ovviamente al posto di questi numeri in generale ce ne saranno altri, cioè avremo un'equazione del tipo:[br][br][math]\large{\sqrt{\left(x-\textcolor{red}{x_C}\right)^2+\left(y-\textcolor{red}{y_C}\right)^2}=\textcolor{blue}{R}}[/math][br][br]Ancora più chiara è l'equazione che otteniamo elevando al quadrato entrambi i membri, perché le caratteristiche della circonferenza rimangono evidenti ma non c'è la radice quadrata:[br][br][center][math]\Large{\left(x-\textcolor{red}{x_C}\right)^2+\left(y-\textcolor{red}{y_C}\right)^2=\textcolor{blue}{R}^2\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad(2)}[/math][/center][br]Decidiamo allora di chiamare la forma [math]\large{(2)}[/math] [b][color=#ff0000]l'equazione di base[/color] [/b]una circonferenza, per indicare che è il formato che traduce in modo diretto il concetto stesso, l'idea di circonferenza. [br]Questo nome [i]non[/i] è una definizione ufficiale e ce lo siamo inventati noi - se qualcuno ha proposte alternative che rendano meglio l'idea può proporlo!

[color=#ff0000][size=150]LE CARATTERISTICHE DELLA CIRCONFERENZA "NASCOSTE" NELLA SUA EQUAZIONE CANONICA[/size][/color][br][br]Abbiamo visto che una circonferenza è caratterizzata dalle coordinate del suo centro e dal raggio (che nell'esempio visto valevano rispettivamente [math]\large{x_C=2}[/math], [math]\large{y_C=4}[/math] e [math]\large{R=2}[/math]. [br][br]Quando abbiamo trovato la sua equazione canonica, abbiamo visto che dipende da tre numeri, che nel nostro caso erano [math]\large{a=-4}[/math], [math]\large{b=-8}[/math] e [math]\large{c=16}[/math].[br][br]Vogliamo capire se c'è una relazione tra questi gruppi di valori, ed in particolare vogliamo rispondere a questa domanda:[color=#ff0000] [b]se conosco a, b e c di una circonferenza, riesco a risalire al suo centro ed al suo raggio?[/b][/color][br][br]Per fare questo rifaccio il calcolo dell'equazione di una circonferenza, ma questa volta [u]per le coordinate del centro e per il raggio non uso dei numeri particolari ma delle lettere, perché così vedo meglio come queste lettere si combinano a formare l'equazione finale[/u].[br][b][br]Cerchiamo quindi l'equazione di una circonferenza di centro [math]\large{\textcolor{red}{C\left(x_C,\ y_C\right)}}[/math] e raggio [math]\large{\textcolor{red}{R}}[/math].[/b][br][br]Come abbiamo fatto la prima volta, imponiamo che la distanza tra il centro ed il punto generico della circonferenza [math]\large{P\left(x,\ y\right)}[/math] sia uguale al raggio.[br][br][center][math]\Large{\overline{PC}=\sqrt{\left(x-\textcolor{red}{x_C}\right)^2+\left(y-\textcolor{red}{y_C}\right)^2}=\textcolor{red}{R}}[/math][/center][br][b]ATTENZIONE: [math]\large{\textcolor{red}{x_C}}[/math] è una lettera [i]diversa[/i] da [math]\large{x}[/math][/b]:[br][list][*][math]\large{\textcolor{red}{x_C}}[/math] è la x del centro della circonferenza, quindi [b]in ogni circonferenza è un numero ben preciso[/b] (nel nostro primo esempio valeva 2); usiamo una lettera perché ora non abbiamo ancora deciso che numero è, ma [b]va trattato come se fosse un numero[/b]: è un [u]parametro[/u][/*][*][b][math]\large{x}[/math] [/b]è la x di un punto QUALSIASI della circonferenza, quindi anche dopo aver scelto la circonferenza [b]rimane a tutti gli effetti una lettera[/b], una [u]variabile[/u] che rappresenta TUTTE le possibili x dei punti della circonferenza.[b][br][/b][/*][/list][b][br]Le chiamiamo entrambe "x" perché sono delle ascisse e per distinguerle dalle "y", ma sono molto diverse e non si confondono. Stessa cosa vale per le y.[/b][br][br]Svolgiamo i calcoli come prima, elevando innanzitutto al quadrato entrambi i membri ed ottenendo quella che abbiamo chiamato "equazione di base" della circonferenza.[br][br][math]\large{\left(x-\textcolor{red}{x_C}\right)^2+\left(y-\textcolor{red}{y_C}\right)^2=\textcolor{red}{R}^2}[/math][br][br]Svolgiamo i quadrati di binomio...[br][br][math]\large{x^2+\textcolor{red}{x_C}^2-2\textcolor{red}{x_C}\ x+y^2+\textcolor{red}{y_C}^2-2\textcolor{red}{y_C}\ y=\textcolor{red}{R}^2}[/math][br][br](da notare che abbiamo scritto prima le [math]\large{\textcolor{red}{x_C}}[/math] delle [math]\large{x}[/math], perché la lettera "vera" è la [math]\large{x}[/math], mentre [math]\large{\textcolor{red}{x_C}}[/math] è un numero e quindi va scritto nella prima parte del monomio. Stessa cosa con le y.)[br][br]Portiamo tutto a primo membro ed ordiniamo per potenze decrescenti di [math]\large{x}[/math] e [math]\large{y}[/math], [u]esattamente come abbiamo fatto nel nostro primo esempio[/u]:[br][br][center][math]\large{x^2+y^2-2\textcolor{red}{x_C}\ x-2\textcolor{red}{y_C}\ y+\textcolor{red}{x_C}^2+\textcolor{red}{y_C}^2-\textcolor{red}{R}^2=0}[/math][/center]Confrontandolo con la equazione generale che abbiamo ottenuto prima abbiamo[br][br][center][math]\Large{\begin{array}{cccccc}x^2&+y^2&\underbrace{-2\textcolor{red}{x_C}}\ x&\underbrace{-2\textcolor{red}{y_C}}\ y&\underbrace{+\textcolor{red}{x_C}^2+\textcolor{red}{y_C}^2-\textcolor{red}{R}^2}&=0\\ x^2&+y^2&+\textcolor{blue}{a}x&+\textcolor{blue}{b}y&+\textcolor{blue}{c}&=0\end{array}}[/math][/center][br][br]possiamo quindi notare che:[list][*]il coefficiente della [math]\large{x}[/math], cioè [math]\large{\textcolor{blue}{a}}[/math], vale [math]\large{-2\textcolor{red}{x_C}}[/math][/*][*]il coefficiente della [math]\large{y}[/math], cioè [math]\large{\textcolor{blue}{b}}[/math], vale [math]\large{-2\textcolor{red}{y_C}}[/math][/*][*]la parte senza incognite, cioè il termine noto [math]\large{\textcolor{blue}{c}}[/math], è pari a [math]\large{\textcolor{red}{x_C}^2+\textcolor{red}{y_C}^2-\textcolor{red}{R}^2}[/math][/*][/list][br][b]Abbiamo quindi ottenuto le "istruzioni" per passare da [math]\large{\textcolor{blue}{a}}[/math], [math]\large{\textcolor{blue}{b}}[/math] e [math]\large{\textcolor{blue}{c}}[/math] alle caratteristiche [math]\large{\textcolor{red}{x_C}}[/math], [math]\large{\textcolor{red}{y_C}}[/math] ed [math]\large{\textcolor{red}{R}}[/math] della circonferenza (e viceversa). Le riassumiamo in questo [i]sistema [/i][/b] (infatti tutte queste condizioni sono vere contemporaneamente):[br][br][math]\Large{\left\{ \begin{array}{rcl}\textcolor{blue}{a} & = & -2\textcolor{red}{x_C}\\ \textcolor{blue}{b} & = & -2\textcolor{red}{y_C}\\ \textcolor{blue}{c} & = & \textcolor{red}{x_C}^2+\textcolor{red}{y_C}^2-\textcolor{red}{R}^2\end{array}\right.\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad(3)}[/math][br][br][color=#ff0000][size=150]UNA VERIFICA PER VEDERE SE ABBIAMO CAPITO[/size][/color][br][br]Vediamo ora se siamo capaci di utilizzare quello che abbiamo imparato per trovare centro e raggio di una circonferenza. Consideriamo di nuovo la nostra circonferenza di esempio[br][br][center][math]\large{x^2+y^2-4x-8y+16=0}[/math][/center]Dimentichiamoci per un attimo le coordinate del suo centro e la misura del suo raggio e vediamo se riusciamo a ricavarle con le "istruzioni" [math]\large{(3)}[/math] che abbiamo appena trovato.[br][br]Come abbiamo detto, i valori di questa circonferenza sono:[br][br][list][*][math]\large{\textcolor{blue}{a}=-4}[/math] [/*][*][math]\large{\textcolor{blue}{b}=-8}[/math] [/*][*][math]\large{\textcolor{blue}{c}=+16}[/math] [/*][/list]Sostituiamo questi valori nelle prime due formule del sistema [math]\large{(3)}[/math] ed otteniamo [br][math]\Large{\left\{ \begin{array}{rcl}\textcolor{blue}{-4} & = & -2\textcolor{red}{x_C} \ \ \rightarrow \ \ \frac{-4}{-2} = \frac{-2}{-2}\textcolor{red}{x_C}\ \ \rightarrow \ \ 2 = \textcolor{red}{x_C}\\ \textcolor{blue}{-8} & = & -2\textcolor{red}{y_C}\ \ \rightarrow \ \ \frac{-8}{-2} = \frac{-2}{-2}\textcolor{red}{y_C}\ \ \rightarrow \ \ 4 = \textcolor{red}{y_C}\end{array}\right.}[/math][br][br]Quindi la nostra circonferenza ha centro in [math]\large{C \left( \textcolor{red}{x_C},\ \textcolor{red}{y_C}\right) = C\left( 2, 4\right)}[/math]. [b][color=#ff0000]Corrisponde con i dati iniziali che avevamo circonferenza! :D[/color][/b].[br] [br]Ci rimane solo da sostituire [math]\large{\textcolor{blue}{c}}[/math] ed i valori trovati per [math]\large{\textcolor{red}{x_C}}[/math] e [math]\large{\textcolor{red}{y_C}}[/math] nell'ultima equazione e trovare il raggio:[br][br][math]\large{\textcolor{blue}{c}=\textcolor{red}{x_C}^2+\textcolor{red}{y_C}^2-\textcolor{red}{R}^2 \ \ \rightarrow \ \ \textcolor{blue}{16}=\left(\textcolor{red}{2}\right)^2 +\left(\textcolor{red}{4}\right)^2-\textcolor{red}{R}^2}[/math][br][br]Svolgendo i calcoli otteniamo[br][br][math]\large{16-4-16=-\textcolor{red}{R}^2 \ \ \rightarrow \ \ -4=-\textcolor{red}{R}^2 \ \ \rightarrow \ \ 4=\textcolor{red}{R}^2 \ \ \rightarrow \ \ \pm\sqrt{4}=\textcolor{red}{R} \ \ \rightarrow \ \ \pm 2=\textcolor{red}{R}}[/math][br][br]Ovviamente l'unico valore che ha senso per il raggio è quello positivo, quindi abbiamo ottenuto [math]\large{\textcolor{red}{R}=2}[/math], ed [b][color=#ff0000]anche la terza caratteristica che cercavamo coincide con quella originale[/color][/b][b][color=#ff0000] :D[/color][/b].[br][br]Quindi data una circonferenza qualsiasi adottando questo sistema siamo in grado di trovare le coordinate del suo centro e la misura del suo raggio.

[size=150][color=#ff0000]RISALIRE ALLA CARATTERISTICHE CON IL METODO DI COMPLETAMENTO DEL QUADRATO[br][/color][/size]Vediamo ora un altro modo per calcolare le caratteristiche di una circonferenza senza utilizzare le formule [math]\large{(3)}[/math] ma ragionando sull'idea di circonferenza. [br][br]Consideriamo l'equazione canonica[br][br][math]\large{x^2+y^2-4x+2y-4=0}[/math][br][br]Vogliamo verificare se è una circonferenza, ed in caso affermativo quale è il suo centro ed il suo raggio.[br][br]Notiamo che i coefficienti di [math]\large{x^2}[/math] e [math]\large{y^2}[/math] sono uguali ed entrambi uguali ad uno, quindi questa equazione [i]assomiglia[/i] a quella di una circonferenza. Sarebbe più comodo se avessimo non la sua equazione canonica, ma quella di base, cioé del tipo dell'equazione [math]\large{(2)} [/math] che mostra chiaramente centro e raggio della circonferenza:[br][br][center][math]\Large{\left(x-\textcolor{red}{x_C}\right)^2+\left(y-\textcolor{red}{y_C}\right)^2=\textcolor{blue}{R}^2\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad(2)}[/math][/center][br][br][b][color=#ff0000]Manipoliamo allora la nostra equazione in modo da trasformarla in questo formato[/color][/b]. Vediamo che l'equazione di base racchiude la [math]\large{x}[/math] e la [math]\large{y}[/math] in due quadrati di binomio. Iniziamo ad organizzare la nostra equazione in modo da ottenere questi quadrati: raggruppiamo i termini in [math]\large{x}[/math], quelli in [math]\large{y}[/math] e portiamo il termine noto a secondo membro (dove comparirà il raggio [math]\large{\textcolor{blue}{R}^2}[/math]):[br][br][math]\Large{\underbrace{x^2-4x+ \textcolor{red}{?}}_{\large{\text{quadrato } x}}+\underbrace{y^2+2y+\textcolor{blue}{?}}_{\large{\text{quadrato } y}}=4}[/math][br][br]In ognuna delle espressioni racchiuse da parentesi graffe manca un termine per avere un quadrato di binomio. Puoi calcolare i numeri mancanti sapendo ad esempio che [math]\large{-4x}[/math] deve essere il [b]doppio prodotto[/b] tra [math]\large{x}[/math] ed il secondo numero, che quindi è [math]\large{-2}[/math] - di conseguenza il secondo quadrato vale [math]\large{4}[/math]. [br][br][math]\large{-4x=\mbox{ il doppio prodotto tra }x\mbox{ e un altro numero }(x_C) \rightarrow -4x=2\cdot x \cdot x_C \rightarrow x_C=\frac{-4}{2}=-2}[/math][br][br][math]\large{\rightarrow \mbox{per completare il quadrato di binomio aggiungo il quadrato del secondo numero: }(-2)^2=\textcolor{red}{4}}[/math][br][math]\large{\mbox{[per non cambiare l'equazione lo aggiungo anche a secondo membro]}}[/math][br][br]Ripetendo lo stesso ragionamento con le [math]\large{y}[/math] ottengo:[br][br][math]\Large{\underbrace{x^2-4x+ \textcolor{red}{4}}_{(x-2)^2}+\underbrace{y^2+2y+\textcolor{blue}{1}}_{(y+1)^2}=4\textcolor{red}{+4}\textcolor{blue}{+1}}[/math][br][br]Come al solito[b][color=#38761d] abbiamo aggiunto le stesse quantità anche a secondo membro, per equilibrare l'equazione[/color][/b]: se semplifichiamo i termini colorati otteniamo l'equazione di partenza, a conferma del fatto che non abbiamo [i]cambiato[/i] l'equazione, l'abbiamo solo [i]riscritta in una forma diversa[/i]. A questo punto abbiamo[br][br][math]\Large{(x-2)^2+(y+1)^2=9}[/math][br][br]Abbiamo praticamente raggiunto il nostro obiettivo di riscrivere l'equazione nel formato di base [math]\large{(2)} [/math]: ci basta notare che [math]\large{9}[/math] può essere visto come [math]\large{\textcolor{blue}{3}^2}[/math]. Mettiamo anche in evidenza che il binomio [math]\large{y+1}[/math] è la [i]differenza[/i] tra [math]\large{y}[/math] e [math]\large{-1}[/math], in modo da riprodurre in modo identico l'equazione di base:[br][br][math]\Large{(x-\textcolor{red}{2})^2+(y-\textcolor{red}{(-1)})^2=\textcolor{blue}{3}^2}[/math][br][br]Questa equazione parla di punti [math]\large{P(x,y)}[/math] che hanno tutti distanza da [math]\textcolor{red}{\large{C(2,-1)}}[/math] pari a [math]\textcolor{blue}{\large{3}}[/math], quindi abbiamo trovato centro e raggio della circonferenza.[br][br]NOTA: ovviamente se il termine al secondo membro non è un quadrato perfetto come [math]\large{9}[/math] ma un valore qualsiasi, possiamo sempre trovare il raggio. Ad esempio se a secondo membro abbiamo [math]\large{5}[/math], possiamo riscriverlo come [math]\large{(\textcolor{blue}{\sqrt{5}})^2}[/math] e quindi il raggio misurerà appunto [math]\large{\textcolor{blue}{\sqrt{5}}}[/math].[br][br]

Anche l'ellisse, come la circonferenza, è un [b]luogo geometrico, cioè un insieme di punti che godono tutti della stessa proprietà[/b]. La proprietà dell'ellisse è un po' più complessa di quella della circonferenza.[br][br]Mentre nella circonferenza si fissava un punto, detto centro, nell'ellisse se ne fissano due; vengono chiamati [color=#ff0000][b]fuochi dell'ellisse[/b][/color]. Tutti i punti dell'ellisse hanno questa proprietà: [color=#ff0000][b]per ogni punto la SOMMA delle sue distanze dai due fuochi è sempre la stessa[/b][/color].[br][br]Quindi se ho due fuochi [math]F_1[/math] e [math]F_2[/math], i punti [math]P[/math] dell'ellisse sono tali per cui [math]\overline{PF_1}+\overline{PF_2}[/math] è uguale sempre allo stesso valore, caratteristico dell'ellisse, rappresentato dall'espressione [math]2a[/math]: [br][br][center][math]\overline{PF_1}+\overline{PF_2}=2a[/math][/center]Volendo proseguire l'analogia con la circonferenza, allo stesso modo in cui i fuochi sono il corrispondente del centro della circonferenza, [math]2a[/math] è il corrispondente del raggio. Viene indicato con [math]2a[/math] perchè, come vedremo, è il doppio di una caratteristica molto importante dell'ellisse.[br][br]Dato che i calcoli per determinare l'equazione di un'ellisse sono piuttosto complessi, considereremo un modo piuttosto semplice di disporre [b]i fuochi[/b]: [br][br][list=1][*][b]giacciono su uno degli assi cartesiani[/b] (nel nostro primo esempio sarà l'asse [math]x[/math])[/*][*][b]sono simmetrici rispetto l'origine degli assi[/b] (possiamo anche dire che l'origine degli assi è il punto medio dei due fuochi); nel nostro primo esempio uno avrà coordinate [math]F_1\left(4,0\right)[/math] e l'altro [math]F_1\left(-4,0\right)[/math][/*][/list][br]Quando avremo queste caratteristiche parleremo di [b]"[color=#ff0000]ellisse riferita agli assi[/color]"[/b]. [br][br]Nella seguente animazione iniziamo a prendere confidenza con la definizione dell'ellisse ed a vedere come si disegna, usando il caso particolare dell'ellisse riferita agli assi. Ovviamente anche le altre ellissi si disegnano in modo simile.

Prima di fare i calcoli per trovare l'equazione dell'ellisse, studiamola meglio per imparare le sue caratteristiche.

Come abbiamo fatto per la circonferenza, per trovare l'equazione dell'ellisse partiamo dalla definizione: la somma di [math]\overline{PF_1}[/math] e di [math]\overline{PF_2}[/math] è uguale ad una costante, che sappiamo vale [math]2a[/math].[br][br][center][math]\overline{PF_1}+\overline{PF_2}=2a[/math][/center][br]Le distanze si calcolano, come al solito, con il teorema di Pitagora, quindi la formula [b]generale[/b] diventa:[br][br][center][math]\sqrt{\left(x-x_{F_1}\right)^2+\left(y-y_{F_1}\right)^2}+\sqrt{\left(x-x_{F_2}\right)^2+\left(y-y_{F_2}\right)^2}=2a[/math][/center]Nel nostro caso semplice abbiamo che i fuochi sono sull'asse x, ed hanno coordinate [math]F_1\left(-c,0\right)[/math] e [math]F_2\left(c,0\right)[/math], la formula diventa quindi[br][br][center][math]\sqrt{\left(x+c\right)^2+ y^2}+\sqrt{\left(x-c\right)^2+ y^2}=2a[/math][/center]I calcoli per giungere alla formula dell'ellisse sono piuttosto complessi ma si basano su un [b]ragionamento logico chiaro[/b]. Li trovi di seguito, oppure puoi passare direttamente al paragrafo [color=#ff0000]PRIMI ESEMPI E CONSIDERAZIONI[/color]. [br][br]Vogliamo eliminare le radici elevando entrambi i membri al quadrato; tuttavia essendocene due ed essendoci un terzo termine non è possibile isolarle entrambe. Portiamo una delle radici a secondo membro, in modo da ottenere un doppio prodotto il più semplice possibile.[br][br][center][math]\sqrt{\left(x+c\right)^2+ y^2}=2a-\sqrt{\left(x-c\right)^2+ y^2}\quad \rightarrow\quad \textcolor{red}{\left (\textcolor{black}{\sqrt{\left(x+c\right)^2+ y^2}}\right )^2\textcolor{black}{=}\left (\textcolor{black}{2a-\sqrt{\left(x-c\right)^2+ y^2}}\right )^2}[/math][/center][br]Come dicevamo, a secondo membro dovremo svolgere un quadrato di binomio e quindi un doppio prodotto, ma perlomeno uno dei due termini è semplicemente [math]\large{2a}[/math] e quindi i calcoli saranno un po' più semplici. Procediamo eliminando la radice a primo membro e svolgendo il quadrato di binomio al secondo.[br][br][center][math]\large{\left(x+c\right)^2+ y^2=\underbrace{4a^2}_{\text{quadrato\\ di 2a}}\underbrace{+\left(x-c\right)^2+ y^2}_{\text{quadrato della radice\\(sparisce, e pure il meno)}}\underbrace{-2\cdot 2a \cdot \sqrt{\left(x-c\right)^2+ y^2}}_{\text{doppio prodotto}}}[/math][/center][br][br]Svolgendo i conti otteniamo[br][br][center][math]\large{x^2+c^2+2cx+ y^2=4a^2+x^2+c^2-2cx+ y^2-4a \cdot \sqrt{\left(x-c\right)^2+ y^2}}[/math][/center][br][br]Semplifichiamo i termini che si cancellano ed isoliamo la radice che è comparsa dal doppio prodotto: la portiamo al primo membro e spostiamo a secondo membro tutto il resto:[br][br][center][math]\large{4a \cdot \sqrt{\left(x-c\right)^2+ y^2} = 4a^2-4cx}[/math][/center][br]Dividiamo tutto per [math]\large{4}[/math] poi eleviamo di nuovo entrambi i membri per eliminare definitivamente la radice[br][br][center][math]\large{ \textcolor{red}{ \left ( \textcolor{black}{a \cdot \sqrt{\left(x-c\right)^2+ y^2}} \right ) ^2 \textcolor{black}{=} \left ( \textcolor{black}{a^2-cx} \right )^2} \quad \rightarrow \quad a^2 \cdot \left [\left(x-c\right)^2+ y^2 \right ] = a^4 + c^2x^2-2a^2cx}[/math][/center][br][br]svolgiamo i conti[br][br][center][math]\large{ a^2 \cdot \left [x^2+c^2-2xc+ y^2 \right ] = a^4 + c^2x^2-2a^2cx \quad \rightarrow \quad a^2 x^2+a^2c^2-2a^2xc+ a^2y^2 = a^4 + c^2x^2-2a^2cx }[/math][/center][br][br]I due termini [math]\large{-2a^2xc}[/math] si cancellano; portiamo tutti i termini che contengono [math]\large{x}[/math] o [math]\large{y}[/math] a primo membro ed il resto al secondo.[br][br][center][math]\large{a^2 x^2-c^2x^2 + a^2y^2 = a^4 -a^2c^2 }[/math][/center][br] [br]Cerchiamo di evidenziare i termini analoghi: raccogliamo [math]\large{x^2}[/math] tra i primi due termini al primo membro e [math]\large{a^2}[/math] al secondo membro:[br][br][center][math]\large{x^2(a^2 -c^2) +a^2 y^2 = a^2(a^2 -c^2) }[/math][/center][br][br]Notiamo che ad entrambi i membri appare l'espressione [math]\large{\textcolor{#007700}{a^2-c^2}}[/math]: studiamola un po', [b]in particolare ci interesserà scoprire che è sempre positiva[/b]. Innanzitutto ricordiamoci del significato geometrico di [math]\large{a}[/math] e di [math]\large{c}[/math] osservando l'immagine qui sotto:[br]

Dalle considerazioni sulla figura ne deduciamo che [math]\large{2a>2c}[/math], quindi [math]\large{a>c}[/math], quindi [math]\large{a-c>0}[/math]. Riprendiamo ora l'espressione [math]\large{a^2-c^2}[/math] che era comparsa nei nostri calcoli, essa può essere scomposta in [math]\large{(a-c)(a+c)}[/math]; la prima parentesi è sempre positiva per quanto appena osservato, mentre la seconda lo è perchè somma di due distanze, quindi di due quantità positive. [br][br][b]Dato [math]\large{a^2-c^2}[/math] è una quantità positiva, la rappresentiamo come il quadrato di un numero, che chiamiamo [math]\large{b}[/math][/b]: per ora ci serve per rendere più leggibile l'equazione che abbiamo trovato, [b]vedremo che in realtà [math]\large{b}[/math] ha un ruolo essenziale nel definire la geometria dell'ellisse[/b].[br][br]Introduciamo quindi [math]\large{\textcolor{#007700}{b^2= a^2-c^2}}[/math], e usiamo la nuova lettera per riscrivere l'equazione trovata:[br][br][center][math]\large{x^2\textcolor{#007700}{(a^2 -c^2)} +a^2y^2 = a^2\textcolor{#007700}{(a^2 -c^2)} \quad \rightarrow \quad x^2\textcolor{#007700}{b^2} + a^2y^2 = a^2\textcolor{#007700}{b^2}} [/math][/center][br][br]Dividendo infine tutto per [math]\large{a^2b^2} [/math], che ci permette di la struttura particolarmente semplice dell'equazione dell'ellisse:[br][br][center][math]\large{\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1}[/math][/center][br][br]Concludiamo notando che se nella relazione che abbiamo utilizzato per introdurre [math]\large{b}[/math], [math]\large{\textcolor{#007700}{b^2= a^2-c^2}}[/math], ricaviamo la lettera [math]\large{a}[/math] otteniamo [br][center][math]\Large{\textcolor{#007700}{a^2=b^2+c^2}}[/math][/center]cioè la relazione Pitagorica presentata nel video introduttivo che lega tra loro i tre coefficienti dell'ellisse. In questa forma è forse più facile da ricordare: [math]\large{a}[/math] riveste il ruolo dell'ipotenusa, cioè il lato più lungo, ed infatti vedremo che in questo tipo di ellissi il semiasse orizzontale è il più lungo. [br][br][size=150][color=#ff0000]PRIMI ESEMPI E CONSIDERAZIONI[/color][/size][br]Abbiamo ricavato l'equazione di un'ellisse [b]riferita agli assi[/b], cioè i cui fuochi sono su uno degli assi cartesiani e sono simmetrici rispetto all'origine; questa forma dell'equazione è detta anche [b]canonica[/b]. Abbiamo visto che essa segue questo modello:[br][br][center][math]\large{\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1}[/math][/center][br]In particolare l'abbiamo ottenuta nel caso in cui i fuochi siano sull'asse [math]\large{x}[/math], vedremo poi cosa cambia e cosa resta identico nel caso in cui i fuochi siano sull'altro asse.[br][br]Nell'esempio che abbiamo fatto noi avevamo [math]a=5[/math] e [math]b=3[/math], quindi l'equazione diventa:[br][br][center][math]\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1[/math][/center]A volte si eliminano le frazioni facendo il denominatore comune. In questo caso il denominatore comune è [math]25 \cdot 9 =225[/math] ed otteniamo[br][center][math]\frac{9x^2+25y^2}{225}=\frac{225}{225}\rightarrow\ \ \ 9x^2+25y^2=225[/math][/center] [b]In questa forma vediamo che l'equazione di un'ellisse assomiglia a quella di una circonferenza, ma i coefficienti di [math]\large{x^2}[/math] e di [math]\large{y^2}[/math] non sono uguali tra loro, confermando che l'andamento lungo i due assi non è più lo stesso.[/b] Ovviamente per tornare indietro alla forma canonica basta dividere ad entrambi i membri per 225.[br][br][size=100][b]ESEMPIO[/b][/size][br]Trova i valori di [math]a[/math], [math]b[/math] e [math]c[/math] dell'ellisse [br][center][math]x^2+9y^2=36[/math][/center][br]Trovo innanzitutto la forma canonica dividendo per 36 (così a secondo membro mi resta 1, come nella forma canonica):[br][center][math]\frac{x^2}{36}+\frac{9y^2}{36}=\frac{36}{36}\rightarrow\ \ \ \frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{4}=1[/math][/center][br]Da qui capisco che [math]a^2=36 \rightarrow\ \ a=6[/math] e [math]b^2=4 \rightarrow\ \ b=2[/math]. Per trovare [math]c[/math] uso la relazione pitagorica tra i tre coefficienti: [math]a^2=b^2+c^2[/math] quindi [math]c^2=a^2-b^2=36-4=32[/math], da cui otteniamo che [math]c^2=\sqrt{32} = 4\sqrt{2}[/math].[br][br][size=150][color=#ff0000]DALL'EQUAZIONE AL SIGNIFICATO DI a e b[/color][/size][br][br][b]Partendo dall'equazione canonica, si può verificare che [math]a[/math] e [math]b[/math] sono proprio le misure dei due semiassi dell'ellisse[/b], come abbiamo detto all'inizio. Infatti se cerchiamo le intersezioni con l'asse delle [math]x[/math] troviamo:[br][br][math]\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\\y=0\end{array}\right.\rightarrow\ \ \frac{x^2}{a^2}+\frac{\textcolor{red}{0}^2}{b^2}=1\rightarrow\ \ \textcolor{red}{a^2 \cdot}\frac{x^2}{a^2}=1\textcolor{red}{\cdot a^2}\rightarrow\ \ x^2=a^2\rightarrow\ \ x=\pm a[/math][br][br]Quindi l'ellisse incontra l'asse [math]x[/math] nei punti [math]A_1\left(-a, 0\right)[/math] e [math]A_2\left(a, 0\right)[/math]. [br][br]Allo stesso modo si può verificare che l'ellisse incontra l'asse delle [math]y[/math] nei punti [math]B_1\left(-b, 0\right)[/math] e [math]B_2\left(b, 0\right)[/math]; disegnando l'ellisse e questi suoi punti di intersezione si vede che [math]a[/math] e [math]b[/math] sono effettivamente la metà delle due dimensioni dell'ellisse stessa.[br][br]I punti [math]A_1[/math], [math]A_2[/math], [math]B_1[/math] e [math]B_2[/math] sono chiamati [b]vertici dell'ellisse[/b], in quanto, come si può vedere visivamente, ne limitano l'estensione (sono i suoi "estremi" nelle quattro direzioni).

[color=#ff0000][size=100][size=150]L'ELLISSE CON I FUOCHI SULL'ASSE DELLE Y[br][/size][/size][/color]Nel caso in cui i fuochi invece di essere sull'asse delle x giacciono su quello delle y, l'ellisse sarà "allungata" in direzione delle y invece che delle x. [br][br]Rifacendo tutti i calcoli[color=#ff0000]*[/color], ma ponendo le coordinate dei fuochi pari a [math]\large{F_1(0,-c)}[/math] e [math]\large{F_2(0,c)}[/math], si ottengono i seguenti risultati:[br][br][b][color=#ff0000]l'equazione dell'ellisse resta identica[/color][/b], cioè [math]\large{\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1}[/math], cioè all'asse [math]\large{x}[/math] (ed alle intersezioni con esso) resta associato il parametro [math]\large{a}[/math] ed all'asse [math]\large{y}[/math] (ed alle relative intersezioni) il parametro [math]\large{b}[/math][br][br][b][color=#ff0000]l'asse che "contiene" i fuochi sarà quello verticale, che quindi sarà il maggiore dei due[/color][/b], quindi in questa situazione si avrà che [math]\large{b>a}[/math] ed in particolare che il più grande tra i tre parametri non sarà più [math]\large{a}[/math] bensì [math]\large{b}[/math]; si ottiene infatti una diversa relazione Pitagorica tra i tre, in cui il ruolo dell'ipotenusa è svolto da [math]\large{b}[/math][br][br][center][math]\textcolor{#007700}{\large{b^2=a^2+c^2}}[/math][/center][br][color=#ff0000]*[/color] per avere dei risultati con le lettere coerenti nel loro significato si dovrebbe porre [math]\large{\overline{PF_1} + \overline{PF_2} = 2b}[/math], in questo caso. Se qualcuno vuole provare è benvenuta/o e possiamo riparlarne a lezione.

Anche l'iperbole è un luogo geometrico. [br][br]Come nel caso dell'ellisse, vengono fissati due punti detti fuochi, chiamati come al solito [math]F_1[/math] e [math]F_2[/math]. Similmente a quanto fatto per l'ellisse, [b]considereremo innanzitutto un'iperbole riferita agli assi[/b], cioè i cui fuochi giacciono sull'asse delle [math]\text{x}[/math].[br][br]La caratteristica comune a tutti i punti dell'iperbole è questa: per ogni punto la differenza tra la distanza tra un fuoco e la distanza dell'altro fuoco è costante. Anche in questo caso il valore di questa costante è rappresentato dall'espressione [math]2a[/math].[br][br]Questo equivale a dire che[br][center][math]\left| \overline{PF_1}-\overline{PF_2} \right|=2a[/math][/center][br]Da notare che in questo caso è necessario utilizzare un modulo, perché la differenza potrebbe risultare negativa.[br][br]L'iperbole è più complessa dell'ellisse, sia perché i calcoli per ottenere la sua equazione sono più complessi, sia perché la proprietà dei suoi punti non può essere interpretata in modo visivo.[br][br]Come nel caso dell'ellisse, i fuochi sono sull'asse x ed hanno coordinate [math]F_1\left(-c,0\right)[/math] e [math]F_2\left(c,0\right)[/math]. Calcolando le espressioni contenute nella formula otterremo qualcosa di simile al caso dell'ellisse:[br][br][center][math]\left| \sqrt{\left(x+c\right)^2+ y^2}-\sqrt{\left(x-c\right)^2+ y^2}\right|=2a[/math][/center]Dopo aver svolto i calcoli, che sono ancora più complessi anche a causa della presenza del valore assoluto, si ottiene che nel caso semplice che abbiamo scelto noi la formula dell'iperbole diventa molto semplice:[br][br][center][math]\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1[/math][/center]Come nel caso dell'ellisse [math]a[/math] è la quantità che compare nella definizione iniziale, mentre [math]b[/math] è legato ad [math]a[/math] ed alla distanza focale [math]c[/math] da una relazione di tipo Pitagorico, solo che in questo caso il ruolo dell'ipotenusa è svolto dalla distanza focale:[br][br][center][math]c^2=a^2+b^2[/math][/center]Visualizziamo tutti questi concetti nell'animazione qui sotto.

[color=#ff0000][size=100][size=150]VERIFICA DELLE INTERSEZIONI[/size][/size][/color][br]Anche se non abbiamo svolto tutti i calcoli per l'iperbole come abbiamo fatto nel caso dell'ellisse, possiamo verificare la coerenza di alcune delle caratteristiche individuate, ed in particolare le intersezioni con gli assi. [br][br]Se cerchiamo le intersezioni con l'asse delle [math]\large{x}[/math] infatti troviamo, similmente a quanto ottenuto per l'ellisse:[br][br][math]\large{\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\\y=0\end{array}\right.\rightarrow\ \ \frac{x^2}{a^2}-\frac{\textcolor{red}{0}^2}{b^2}=1\rightarrow\ \ \textcolor{red}{a^2 \cdot}\frac{x^2}{a^2}=1\textcolor{red}{\cdot a^2}\rightarrow\ \ x^2=a^2\rightarrow\ \ x=\pm a}[/math][br][br]Quindi l'iperbole incontra l'asse [math]\large{x}[/math] nei punti [math]\large{A_1\left(-a, 0\right)}[/math] e [math]\large{A_2\left(a, 0\right)}[/math]. Questi due punti sono detti [b][color=#ff0000]vertici reali[/color][/b] dell'iperbole.[br][br]Se invece cerchiamo le intersezioni con l'asse delle [math]\large{y}[/math] otteniamo un risultato molto diverso: [br][br][math]\large{\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\\x=0\end{array}\right.\rightarrow\ \ \frac{\textcolor{red}{0}^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\rightarrow\ \ \textcolor{red}{-b^2 \cdot}\left (\frac{y^2}{b^2}\right )=1\textcolor{red}{\cdot (-b^2)}\rightarrow\ \ y^2=-b^2\rightarrow\ \ y=\pm \sqrt{-b^2}}[/math][br][br]Poiché [math]\large{b^2}[/math] è una quantità non negativa (in realtà è sempre positiva, perché il caso [math]\large{b=0}[/math] non è compatibile con l'equazione dell'iperbole), [math]\large{-b^2}[/math] è una quantità negativa, della quale quindi non è possibile estrarre la radice quadrata. Di conseguenza l'iperbole non ha intersezioni con l'asse delle [math]\large{y}[/math], ed i punti [math]\large{B_1\left(0, -b\right)}[/math] e [math]\large{B_2\left(0, b\right)}[/math]sono detti [b][color=#ff0000]vertici virtuali[/color][/b] dell'iperbole. [br][br]Il parametro [math]\large{b}[/math] non ha quindi nessun significato geometrico immediato, ma è molto utile (anche visivamente) per definire gli asintoti dell'iperbole, che approfondiremo nel prossimo paragrafo.[br][br][color=#ff0000][size=100][size=150]ASINTOTI, LIMITI E L'INFINITO[/size][/size][/color][br]Approfondiamo il concetto di asintoto. Dal disegno nell'animazione precedente vediamo che l'iperbole sembra avvicinarsi sempre più alle rette che abbiamo tracciato, imitandone l'andamento mano a mano che si considerano valori di [math]\large{x}[/math] sempre più grandi positivi (cioè verso destra) o negativi (verso sinistra). L'immagine qui sotto utilizza una scala che mostra in modo più chiaro questo tipo di comportamento.[br]

Vediamo come si comporta l'iperbole in questa parte del piano. Innanzitutto ricaviamo la [math]\large{y}[/math] dall'equazione dell'iperbole, in modo da confrontarla con quella delle rette che svolgono il ruolo di asintoto. Otteniamo:[br][br][math]\Large{y^2= b^2 \left (\frac{x^2}{a^2}-1 \right ) \quad \longrightarrow \quad y=\pm b\sqrt{\frac{x^2}{a^2}-1}}[/math][br][br]Volendo portar fuori la [math]\large{x}[/math] (ed intanto che ci siamo anche la [math]\large{a}[/math]) raccogliamo [math]\large{\frac{x}{a}}[/math] sotto la radice:[br][br][math]\Large{y=\pm b\sqrt{\frac{x^2}{a^2}\left (1- \frac{a^2}{x^2} \right )}}[/math][br][br]Abbiamo raccolto anche se il fattore non era presente in tutti i termini al radicando; possiamo verificare che eseguendo il prodotto che abbiamo creato si ottiene il radicando di partenza, e quindi le due espressioni sono equivalenti. A questo punto possiamo portare fuori il fattore prima della parentesi. [br][br][math]\Large{y=\pm \frac{b}{a}x\sqrt{1- \frac{a^2}{x^2}}}[/math][br][br]Se ora valutiamo questa espressione per valori di [math]\large{x}[/math] molto grandi (sia positivi che negativi), notiamo che al frazione che compare sotto la radice dà dei risultati sempre più piccoli: [math]\large{a^2}[/math] è un certo numero, comunque finito, mentre all'aumentare di [math]\large{x}[/math] il denominatore [math]\large{x^2}[/math] diventa un valore sempre più grande, [b]senza limiti[/b], e quindi la frazione dà un risultato sempre più piccolo, [b]che tende a zero[/b].[br][br][math]\Large{\lim_{x \to +\infty}\frac{a^2}{x^2}=0}[/math][br][br]Il simbolo [math]\large{\infty}[/math] introduce il concetto di [b]infinito[/b], che viene definito come una quantità maggiore di qualsiasi numero sia possibile immaginare. La scrittura [math]\large{x \to +\infty}[/math] si legge "[math]\large{x}[/math] tende a più infinito" ed indica che stiamo considerando valori di [math]\large{x}[/math] sempre più vicini all'infinito, e quindi sempre più grandi (analogamente scrivendo [math]\large{x \to -\infty}[/math] indichiamo che stiamo considerando valori di [math]\large{x}[/math] [i]negativi[/i] e sempre più grandi in valore assoluto). [br][br]La scrittura [math]\large{\lim_{x \to +\infty}}[/math] si legge "limite per [math]\large{x}[/math] che tende a più infinito di..." ed indica appunto che stiamo studiando come si comporta il risultato dell'espressione quando la valutiamo per valori di [math]\large{x}[/math] in quella zona del piano cartesiano (in questo caso per valori molto grandi). [br][br]Il limite è uno strumento dell'analisi e viene usato per calcolare il valore a cui si avvicina il risultato di una data espressione. In questo caso ci aiuta a capire che la frazione sotto la radice diventa un contributo sempre più trascurabile, mano a mano che si considerano [math]\large{x}[/math] maggiori, e quindi la radice dà un risultato sempre più simile ad [math]\large{1}[/math], con la conseguenza che la [math]\large{y}[/math] che otteniamo diventa sempre più simile a quelle degli asintoti. Possiamo formalizzare questa descrizione con la scrittura[br][br][math]\Large{\lim_{x \to +\infty}\pm \frac{b}{a}x\sqrt{1- \textcolor{red}{\frac{a^2}{x^2}}}\quad \approx \quad \pm \frac{b}{a}x\sqrt{1-\textcolor{red}{0}} \quad \approx \quad \pm \frac{b}{a}x\sqrt{1}\quad \approx \quad \pm \frac{b}{a}x}[/math][br][br]In questo caso abbiamo usato la scrittura in forma simbolica per indicare che la funzione, quando è considerata per [math]\large{x}[/math] molto grandi e positivi, assume un comportamento molto simile a quello degli asintoti. Abbiamo visto che le stesse considerazioni valgono quando valutiamo la funzione per valori di [math]\large{x}[/math] molto grandi e [i]negativi[/i], e quindi possiamo scrivere anche:[br][br][math]\Large{\lim_{x \to -\infty}\pm \frac{b}{a}x\sqrt{1- \frac{a^2}{x^2}} \approx \pm \frac{b}{a}x}[/math]

[size=150][color=#ff0000]LE IPERBOLI CON FUOCHI SULL'ASSE DELLE Y[br][/color][/size]Se ripetiamo i ragionamenti visti finora ma collochiamo i fuochi sull'asse delle [math]\large{y}[/math] invece che sull'asse delle [math]\large{x}[/math], l'equazione cambia ed il segno meno precede il termine in [math]\large{x}[/math], diventando quindi [br][br][center][math]\Large{\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1}[/math][/center][br][br]La relazione tra i coefficienti [math]\large{a}[/math], [math]\large{b}[/math] e [math]\large{c}[/math] invece rimane invariata:[br][br][center][math]\Large{c^2=a^2+b^2}[/math][/center][br][br]e la distanza focale resta quindi il valore maggiore tra i tre.[br][br]Anche le equazioni dei due asintoti rimangono identiche, come si vede nell'immagine riprodotta sotto.