Veelvlakken en de formule van Euler

Ivan De Winne, Feb 4, 2018

"Aanscherpen van ruimtelijk inzicht met GeoGebra" behoort ongetwijfeld tot één van de belangrijke doelstellingen van het leerplan voor wiskunde. In dit artikel onderzoeken wij de beroemde formule van Euler voor (convexe) veelvlakken. Een uitgebreide collectie van interactieve GeoGebrabestanden werden gebundeld in dit GeoGebraboek. Voor dit Geogebraboek werden een groot aantal originele GeoGebrabestanden ontwikkeld door Ivan De Winne. Deze bestanden mogen vrij gebruikt (en gekopieerd) worden, mits naamvermelding (Creative Commons Naamsvermelding - NietCommercieel - GelijkDelen). Dit GeoGebraboek werd slechts mogelijk dank zij de inspirerende voorbeelden van o.a. Tim Brzezinski, Georg Wengler, Steve Phelps, Aroldo Eduardo Athias Rodrigues, Michael Borchard, Bernat en Chris Cambré Meer bruikbaar en interactief lesmateriaal kan je ontdekken tijdens de online nascholingssessies via [url]www.mathelo.net [/url]

Table of Contents

  1. Ruimtelijk inzicht
    1. Ruimtelijk inzicht vb 1
    2. Ruimtelijk inzicht vb 2
  2. Aanzichten en ontvouwingen
    1. Aanzichten
    2. Ontvouwingen
  3. Platonische lichamen: inleiding
    1. Regelmatige veelvlakken
    2. De vijf Platonische lichamen
    3. Bouwplaten
    4. Ontvouwing tetraëder (viervlak)
    5. Ontvouwing kubus (zesvlak)
    6. Ontvouwing achtvlak
    7. Ontvouwing twaalfvlak
    8. Ontvouwing twintigvlak
    9. Mysterium Cosmographicum
  4. Eigenschappen van veelhoeken
    1. Hulpstellingen vlakke meetkunde
    2. Hoekensom van een driehoek
    3. Hoekensom van een n-hoek
    4. Formule voor de hoekensom
  5. Onderzoek mogelijke regelmatige veelvlakken
    1. Voorwaarden
    2. Beperking van de mogelijkheden
    3. Vijf gevallen mogelijk
  6. Formule van Euler
    1. Leonhard Euler
    2. Hoekpunten, ribben, zijvlakken
    3. Zijvlakken van Platonisch lichaam
    4. Viervlak
    5. Kubus
    6. Achtvlak
    7. Twaalfvlak
    8. Twintigvlak
    9. Samenvattende tabel
    10. De formule van Euler
  7. Schlegel diagram
    1. Schlegel diagram van kubus
    2. Schlegel diagram dodecaëder
  8. Duale veelvlakken
    1. Dualiteit
    2. Kubus en octaëder
    3. Dodecaëder en icosaëder
    4. Duale veelvlak van tetraëder
  9. Halfregelmatige veelvlakken
    1. Uitbreiding van de formule van Euler
    2. Archimedische veelvlakken
    3. Prisma's
    4. Antiprisma's
  10. Veelvlakken met holtes
    1. Kubus met holte
    2. Schilderijlijst
  11. Afsluiter...
    1. Het adeno virus
  12. Referenties
    1. GeoGebra boeken collega's

1.

Ruimtelijk inzicht

  • 1. Ruimtelijk inzicht vb 1
  • 2. Ruimtelijk inzicht vb 2

1.1.

–

1.2.

–

2.

Aanzichten en ontvouwingen

  • 1. Aanzichten
  • 2. Ontvouwingen

2.1.

–

2.2.

–

3.

Platonische lichamen: inleiding

  • 1. Regelmatige veelvlakken
  • 2. De vijf Platonische lichamen
  • 3. Bouwplaten
  • 4. Ontvouwing tetraëder (viervlak)
  • 5. Ontvouwing kubus (zesvlak)
  • 6. Ontvouwing achtvlak
  • 7. Ontvouwing twaalfvlak
  • 8. Ontvouwing twintigvlak
  • 9. Mysterium Cosmographicum

3.1.

–

3.2.

–

3.3.

–

3.4.

–

3.5.

–

3.6.

–

3.7.

–

3.8.

–

3.9.

–

4.

Eigenschappen van veelhoeken

  • 1. Hulpstellingen vlakke meetkunde
  • 2. Hoekensom van een driehoek
  • 3. Hoekensom van een n-hoek
  • 4. Formule voor de hoekensom

4.1.

–

4.2.

–

4.3.

–

4.4.

–

5.

Onderzoek mogelijke regelmatige veelvlakken

  • 1. Voorwaarden
  • 2. Beperking van de mogelijkheden
  • 3. Vijf gevallen mogelijk

5.1.

–

5.2.

–

5.3.

–

6.

Formule van Euler

  • 1. Leonhard Euler
  • 2. Hoekpunten, ribben, zijvlakken
  • 3. Zijvlakken van Platonisch lichaam
  • 4. Viervlak
  • 5. Kubus
  • 6. Achtvlak
  • 7. Twaalfvlak
  • 8. Twintigvlak
  • 9. Samenvattende tabel
  • 10. De formule van Euler

6.1.

–

6.2.

–

6.3.

–

6.4.

–

6.5.

–

6.6.

–

6.7.

–

6.8.

–

6.9.

–

6.10.

–

7.

Schlegel diagram

  • 1. Schlegel diagram van kubus
  • 2. Schlegel diagram dodecaëder

7.1.

–

7.2.

–

8.

Duale veelvlakken

  • 1. Dualiteit
  • 2. Kubus en octaëder
  • 3. Dodecaëder en icosaëder
  • 4. Duale veelvlak van tetraëder

8.1.

–

8.2.

–

8.3.

–

8.4.

–

9.

Halfregelmatige veelvlakken

  • 1. Uitbreiding van de formule van Euler
  • 2. Archimedische veelvlakken
  • 3. Prisma's
  • 4. Antiprisma's

9.1.

–

9.2.

–

9.3.

–

9.4.

–

10.

Veelvlakken met holtes

  • 1. Kubus met holte
  • 2. Schilderijlijst

10.1.

–

10.2.

–

11.

Afsluiter...

  • 1. Het adeno virus

11.1.

–

12.

Referenties

  • 1. GeoGebra boeken collega's

12.1.

–

Information