Bei einer [i]elliptischen[/i] oder [i]hyperbolischen[/i] Zerlegung [math]\large\mathcal{ G}= \large\mathcal{ K}\oplus_{\mathbb{R}} i\cdot\large\mathcal{ K} [/math] mit zugehöriger Spiegelung [math]\mathbf K[/math] können wir die Geraden(-vektoren) aus [math]\large\mathcal{K}[/math] "[i]Geraden[/i]", und die Geraden aus [math]i\cdot\large\mathcal{K}[/math] "[i]Punkte[/i]" nennen. Letztere bezeichnen wir vorübergehend mit [math]\mathbf\vec{A},\mathbf\vec{B},\mathbf\vec{C},...\,,\mathbf\vec{P},\,\mathbf\vec{Q}[/math]. [math]\large\mathcal{K}[/math] und [math]i\cdot\large\mathcal{K}[/math] sind [i][b]duale Räume[/b][/i] und die Beziehungen zwischen den Objekten sind geometrisch und rechnerisch einfach zu beschreiben:[br][list][*]Der Punkt [math]\mathbf\vec{P}[/math] liegt auf der Geraden [math]\mathbf\vec{g}[/math] genau dann, wenn [math]\mathbf\vec{P}\bullet\mathbf\vec{g}=0[/math] gilt.[br][/*][*][math]\mathbf\vec{P}\bullet\mathbf\vec{g}=0[/math] gilt genau dann, wenn die Gerade [math]\mathbf\vec{g}[/math] durch den Punkt [math]\mathbf\vec{P}[/math] geht.[/*][*]Der Schnittpunkt zweier Geraden [math]\mathbf\vec{g}_1,\mathbf\vec{g}_2\in\mathcal{K}[/math] ist der Punkt [math]\mathbf\vec{P}=i\cdot\left[\,\mathbf\vec{g}_1,\,\mathbf\vec{g}_2\,\right]\in i\cdot\mathcal{K}[/math].[/*][*]Die Verbindungesgerade zweier Punkte [math]\mathbf\vec{A},\mathbf\vec{B}\in i\cdot\mathcal{K}[/math] ist die Gerade [math]\mathbf\vec{g}=\left[\,\mathbf\vec{A},\,\mathbf\vec{B}\,\right]\in \mathcal{K}[/math].[/*][*]Durch zwei Punkte geht genau eine Gerade[/*][*]Zwei Geraden schneiden sich in genau einem Punkt.[/*][*][math]i\cdot\mathbf\vec{g}\in i\cdot\mathcal{K}[/math] ist der Pol von [math]\mathbf\vec{g}\in\mathcal{K}[/math]. [math]i\cdot\mathbf\vec{P}\in \mathcal{ K}[/math] ist die Polare von [math]\mathbf\vec{P}\in i\cdot\mathcal{K}[/math].[/*][*]Zwei Geraden [math]\mathbf\vec{g}_1,\mathbf\vec{g}_2\in\mathcal{K}[/math] sind orthogonal g.d.w. [math]\mathbf\vec{g}_1\bullet\mathbf\vec{g}_2=0[/math] g.d.w. [math]\mathbf\vec{g}_1[/math] durch den Pol von [math]\mathbf\vec{g}_2[/math] geht g.d.w. der Pol von [math]\mathbf\vec{g}_1[/math] auf [math]\mathbf\vec{g}_2[/math] liegt.[/*][*]Zwei Punkte [math]\mathbf\vec{P},\mathbf\vec{Q}\in i\cdot \mathcal{K}[/math] sind "[i]orthogonal[/i]" g.d.w. [math]\mathbf\vec{P}\bullet\mathbf\vec{Q}=0[/math][/*][/list]Im obigen Applet werden die Beziehungen exemplarisch für den hyperbolischen Fall veranschaulicht.[br]Im elliptischen Falle sind die Beziehungen wegen der Unsichtbarkeit des absoluten Kreises weniger direkt erkennbar.[br][br][b]Längen und Winkel messen:[br][br][/b]Um Abstände von Punkten bzw. Winkel zwischen sich schneidenden Geraden in projektiven Räumen messen zu können, sind Skalierungen für Punkte auf einer Geraden, bzw. für sich schneidende Geraden nötig.[br]Wir verstehen darunter eine reellwertige Funktion [math]s[/math], die etwa für 3 Punkte [math]A,B,C[/math] einer Geraden die Eigenschaft [math]s(A,B)+s(B,C)=s(A,C)[/math] besitzt.[br]Dazu dienen Doppelverhältnisse mit 2 ausgezeichneten Punkten [math]X,Y[/math] auf der Geraden, bzw. 2 ausgezeichnete Geraden [math]x,y[/math] für die Geraden eines Büschels:[br]Exemplarisch: Es gilt für 3 Punkte [math]A,B,C[/math] einer Geraden, auf der 2 Punkte [math]X,Y[/math] ausgezeichnet sind [br][list][*][math]Dv(A,B,X,Y)*Dv(B,C,X,Y)=Dv(A,C,X,Y)[/math].[/*][/list]Die Funktion [math]s(P,Q)=\mathbf{ln}(Dv(P,Q,X,Y))[/math] besitzt damit die oben angeforderte Linearitäts-Eigenschaft.[br][br]Die Längen- und Winkelmessung im hyperbolischen oder elliptischen Falle soll im Folgenden nur angedeutet werden. Es gelingt dies aber auf eine einheitliche Weise![br] [br]Es sei [math]\mathcal{U}=\ll \mathbf\vec{u},\mathbf\vec{v}\gg_{\mathbb{C}}[/math] ein zweidimensionaler komplexer Unterraum von [math]\large\mathcal{G} [/math], auf welchem die quadratische Form [math]\bullet[/math] nicht ausgeartet ist, d.h. für welchen die Diskriminante [math]\Delta( \mathbf\vec{u}, \mathbf\vec{v})= \mathbf\vec{u}\,^2\cdot \mathbf\vec{v}\,^2-( \mathbf\vec{u}\bullet \mathbf\vec{v})\,^2[/math] ungleich 0 ist.[br]Dann existieren zwei verschiedene isotrope Vektoren [math]\mathbf\vec{p}_1,\mathbf\vec{p}_2\in\mathcal{U}[/math] mit [math]\mathbf\vec{p}_1\,^2 = \mathbf\vec{p}_2\,^2=0[/math].[br]Wir definieren [math]s( \mathbf\vec{g}, \mathbf\vec{h})=\mathbf{ln}(Dv( \mathbf\vec{g}, \mathbf\vec{h}, \mathbf\vec{p}_1, \mathbf\vec{p}_2)\mbox{ für alle } \mathbf\vec{g}, \mathbf\vec{h}\in\mathcal{U} [/math]. Das Doppelverhältnis ist zunächst komplex.[br]Sind jedoch [math]\mathbf\vec{g},\mathbf\vec{h}[/math] sich schneidende Geraden, so ist die Diskriminante [math]\Delta[/math] reell; je nach dem Vorzeichen von [math]\Delta[/math] ist [math]s(\mathbf\vec{g},\mathbf\vec{h})[/math] reell bzw. rein imaginär. Im ersten Falle wird ein [i]Abstand[/i], im 2.ten ein [i]Winkel [/i]gemessen.[br]Siehe auch [b]4.9[/b] und [b]4.10[/b].[br][br][size=50]Diese Seite ist Teil des GeoGebra-Books [url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb]Moebiusebene[/url].[/size]