Derivata di una funzione
Definizione di derivata e suo significato geometrico
Table of Contents
- Il problema della tangente
- Il problema della tangente
- Il rapporto incrementale
- Rapporto incrementale
- Derivata di una funzione
- Derivata
- Utilizzo della derivata
- A cosa servono le derivate?
- Questionario
- Vediamo se hai capito.....
Il problema della tangente
Vogliamo risolvere il problema di determinare l'equazione della retta tangente in un punto al grafico di una funzione. Per fare ciò è necessario introdurre un importante concetto, quello di derivata di una funzione. Guarda questo video introduttivo sull'argomento:
Rapporto incrementale
Il rapporto incrementale e la secante
Come avrai capito dal video, per risolvere il nostro problema il primo concetto che va introdotto è quello di rapporto incrementale. Il suo significato geometrico è particolarmente importante, perché rappresenta il coefficiente angolare della retta secante la curva nel punto P fissato e nel punto incrementato P(h). Lo indicheremo con [math]m=\frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h}[/math]. Trovi un esempio nella figura sottostante.
Derivata
Derivata e retta tangente
Adesso spostiamo la nostra attenzione sulla retta tangente la curva nel punto P dato. Come possiamo ottenere il suo coefficiente angolare a partire da quello della retta secante? Dobbiamo fare un'operazione di limite, ossia far tendere a zero la distanza fra il punto P ed il punto incrementato P(h), ossia calcolare, per h che tende a zero, il limite del rapporto incrementale prima considerato. Otteniamo così il coefficiente angolare della retta tangente in P come "limite" del coefficiente angolare della secante. Se tale limite esiste ed è finito lo chiamiamo derivata della funzione y = f(x) nel suo punto P, ossia [math]f'\left(x\right)=lim_h_{\longrightarrow_0}\frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h}[/math]Riprendiamo l'esempio di prima:
A cosa servono le derivate?
I punti stazionari e la crescenza
Un importante uso delle derivate è quello dello studio della crescenza e decrescenza di una funzione e la determinazione dei suoi eventuali punti stazionari, ossia massimi, minimi o flessi a tangente orizzontale. Visiona il seguente filmato che riprende quanto abbiamo già detto e introduce tale problematica.
Vediamo se hai capito.....
Vediamo se hai appreso i concetti fondamentali e ne hai compreso il significato.....Rispondi alle seguenti domande:
Il rapporto incrementale di una funzione è:
La derivata di una funzione in un punto è: