極と極線の研究において、ほとんど証明はしなかった。[br]現象があり、その現象が面白いので、いろいろな仮説を試すことをやった。[br]仮説を試すことは、作図をすることだ。[br]そして、その結果は一目瞭然。[br]そして、いろいろな現象を探っているうちに、やがて原理へと遡っていく。[br]それは、その現象を起こす原理を探っていく過程であった。[br]これは極めて自然な私たちの思考ではないか。[br][br]公理→定理→定理・・・と進む数学の学習とは異なっているが、[br]むしろそういう発想は人間にはできない。[br][br]ただ、研究の成果としてまとめるときには、この公理主義は有効である。[br]だって、現象がなぜそうなるのか追求したくなるからだ。[br]この現象を引き起こしている原理（定義や公理）は何だろうと。[br]ユークリッドやガウスが現象を何とか体系づけようと考えたのは、こういうことではなかったのか。[br][br]さて、下の図を動かしていろいろ試してみよう。[br]

上の左側の図をどう証明したらいいのだろうか。[br]「[b]楕円の外接三角形の頂点と接点を結ぶと、一点で交わる[/b]」[br][br]楕円で言えることは円でも言えるはずと考える。[br]円で試すと、実に当たり前。[br]そして、楕円は円を射影したものだから、円で成り立つことは楕円でも成り立つはず。[br]でも、長さは変わるけど・・・。そうだ、長さは変わるけど比は変わらない。[br]比例定数で約分できるから、楕円でも言える。[br]ところで、チェバの定理はどうするんだったけ。[br]確か、メネラウスの定理を使えば証明できると思う。[br]ではメネラウスの定理は？・・・比例で簡単に証明できる。[br][br]と言う様に、逆にたどっていけばとてもイメージしやすい。[br][br][b][url=https://www.geogebra.org/m/HSc2nAqr]円に外接する三角形の証明[/url][/b][br][br]ところで、右側はどう証明すれば良いのだろうか？[br]

「[b]△ＡＢＣとその極Ｄの作る△ＥＦＧで、△ＡＢＣに内接し、△ＥＦＧに外接する二次曲線がある[/b]」[br][br]これを証明するために極線を使う。[br]Ｄを極とする△ＡＢＣの極線ＨＩを作図することができる。[br]ＢＤの延長線と極線の交点をＫとすると、内接する四角形の交点Ｄの極線はＨＩであり、[br]ＥＬとＦＭの交点はＫとなる。[br]Ｉの極線はＡＦであり、したがってＩとＬを結んだ線はこの楕円の接線になる。[br]Ｍについても同様。[br]よって、五点からできるこの二次曲線は△ＡＢＣに内接する。[br][br]作図ナビゲーションを使って、作図のし方を調べてみよう。[br][br]