Exponentialfunktionen und Wachstum
Table of Contents
- Wiederholung
- Die Parameter der Exponentialfunktion
- Exponentialfunktion und Umkehrfunktion
- Natürliche Exponentialfunktion
- Natürliche Exponentialfunktion finden
Die Parameter der Exponentialfunktion
Eine Exponentialfunktion ist eine Funktion der Form[math]f\left(x\right)=c\cdot a^x[/math][br][br][b]Aufgabe[/b][br]Wähle verschiedene Wert für den Faktor c und die Basis a (Wachstumsfaktor).[br]Beschreibe die Eigenschaften der Exponentialfunktion für a > 1 und a < 1 sowie c < 0 und c > 0.[br][br]
Der Schnittpunkt einer Exponentialfunktion mit der y-Achse entspricht...
Für c > 0 verläuft der Graph der Funktion ..... der x-Achse
Für c < 0 verläuft der Graph der Funktion ..... der x-Achse
Entscheide, ob die folgende Aussage wahr ist:[br][br]Die Exponentialfunktion nähert sich der x-Achse im Unendlichen immer weiter an, berührt oder schneidet diese aber nie.
Natürliche Exponentialfunktion finden
Die rote Kurve stellt die Ableitungsfunktion einer Exponentialfunktion dar. Bewege den Schieberegler, um verschiedene Exponentialfunktionen und ihre Ableitungen zu untersuchen.
Natürliche Exponentialfunktion finden
Die Ableitung einer Exonentialfunktion sieht aus wie eine....
Ungefähr: Für welche Basis (a) ist die Ableitung gleich der Exponentialfunktion?
Euer gefundene Wert entspricht (in etwa) der Eulerschen Zahl. Entscheidet durch eine kleine Internet Recherche, wleche der folgenden Auassagen wahr sind.
Eine Exponentialfunktion mit der Basis e wird als natürliche Exponentialfunktion bezeichnet. Sie hat die einzigartige Fähigkeit, dass ihre Ableitung einfach wieder eine Exponentialfunktion mit der Basis e ist.[br][br]Wenn wir also die Funktion [math]f\left(x\right)=e^x[/math] haben, welche Aussagen treffen dann zu?
Das bedeutet, dass die Steigung der Funktion an jeder Stelle gleich dem Funktionswert ist.[br]Wenn also [math]f\left(2\right)=e^2\approx7,39[/math] ist, welche Steigung hat dann die Funktion an der Stelle x=2?
Und welche Steigung hat die natürliche Exponentialfunktion an der Stelle x=3?[br]Runde auf zwei Nachkommastellen.
Die Umkehrfunktion einer Exponentialfunktion ist die Logarithmusfunktion. Die Umkehrfunktin der natürlichen Exponentialfunktion zur Basis e, heißt, wie sollte es anders sein, [b]natürliche Logarithmusfunktion.[/b] Auf dem Taschenrechner gibt es für die Logarithmusfunktion zur Basis e eine extra Taste.[br]Wie ist diese beschriftet?