Eine quadratische Gleichung ist eine Gleichung, die sich in die Form [math] 0=a\cdot x^2 + b\cdot x+c[/math] umstellen lässt. Dabei sind [math]a[/math], [math]b[/math] und [math]c[/math] beliebige Zahlen und das [math]x[/math] ist die Variable, die wir ausrechnen müssen.[br][br]Für das allgemeine Lösen so einer Gleichung gibt es drei Methoden:[br][list=1][*]die pq-Formel[/*][*]die Mitternachtsformel[/*][*]die quadratische Ergänzung[/*][/list]

[b]Normieren[/b]: Teilen Sie die Gleichung [math]0=a\cdot x_N^2+b\cdot x_N+c[/math] durch [math]a[/math], dabei entsteht eine Gleichung der Form [math]0=x_N^2+p\cdot x_N+q[/math] . Die dabei erhaltenen Zahlen [math]p=\frac ba[/math] und [math]q=\frac ca[/math] setzt man dann in die p-q-Formel ein: [br][math]\bgcolor{FFFF00}{\boxed{x_{N1,2}=-\frac p2 \pm\sqrt{\left(\frac p2\right)^2 - q}}}[/math][br][br][b]Beispiel:[/b] [br][math]\phantom{\Rightarrow}0=2\cdot x^2 + 14\cdot x + 20[/math][br][math]\Rightarrow0=x_N^2+7\cdot x_N+10[/math] [br]Damit die p-q-Formel anwenden:[br][math]x_{N1,2}=-\frac{7}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{7}{2}\right)^2-10}=-\frac{7}{2}\pm\sqrt{\frac{49}[br]{4}-\frac{40}{4}}[/math][br][math]\phantom{x_{N1,2}}=-\frac 72\pm\sqrt{\frac 94}=-\frac 72 \pm \frac 32[/math][br][math]\Rightarrow \underline{\underline{x_{N1}=-\frac{4}{2}=-2}}[/math] und [math]\underline{\underline{x_{N2}=-\frac{10}{2}=-5}}[/math][br]

Da sehr viele Schülerinnen und Schüler immer wieder das Normieren der quadratischen Gleichung vergessen, erhalten sie mit der pq-Formel leider oft falsche Lösungen. Etwas sicherer, aber auch etwas komplexer ist die abc- oder die Mitternachtsformel:[br][math]\bgcolor{#FFFF00}{\boxed{x_{N1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4\cdot a\cdot c}}{2\cdot a}}}[/math] [br][b]Beispiel:[/b][br][math]0=3\cdot x^2-12\cdot x+9[/math][br][math]\Rightarrow x_{1,2}=\frac{-(-12)\pm\sqrt{(-12)^2-4\cdot3\cdot9}}{2\cdot3}[/math][br][math]\Rightarrow x_{1,2}=\frac{12\pm\sqrt{144-108}}{6}[/math][br][math]\Rightarrow x_{1,2}=\frac{12\pm\sqrt{36}}{6}[/math][br][math]\Rightarrow x_{1,2}=\frac{12\pm6}{6}[/math][br][math]\Rightarrow x_{1,2}=2\pm 1[/math][br][math]\underline{\underline{\Rightarrow x_1= 3}}[/math] und [math]\underline{\underline{x_2=1}}[/math]

Auch mit der Quadratischen Ergänzung lässt sich eine quadratische Gleichung lösen. Das Prinzip der quadratischen Ergänzung ist [url=https://www.geogebra.org/m/ggrz2had#material/kcts8gq7]hier[/url] beschrieben. [br]Das Anpassen auf das Berechnen von Nullstellen sei hier den Leser:innen überlassen.