GeoGebra CAS

Tarcsay Tamás, Dec 14, 2023

Gondolatok a GeoGebra CAS-ról és arról, hogy hogyan használható a matematika oktatásában, elsősorban a közoktatásban

Table of Contents

  1. Bevezetés
    1. Előzmények
    2. Előszó
  2. Algebra
    1. Polinomok
    2. Algebra és számelmélet problémák
    3. Egyenlet
    4. Egyenletrendszer
    5. Egyenlőtlenségek, egyenlőtlenségrendszerek
    6. C. 1797. Logaritmus - geometria
    7. Ajánlható linkek (algebra)
  3. A sík koordinátageometriája
    1. Két pont a síkon
    2. Három pont a síkon
    3. Középvonalháromszög
    4. A sík vektorai
    5. Egy vektoros probléma
    6. Egyenes a síkon
    7. Egyenlettel adott egyenes jellemzői
    8. Pont és egyenes
    9. Szakaszfelező merőleges
    10. Két egyenes a síkon
    11. Csúcsaival adott háromszög ...
    12. Kör
    13. Kör?
    14. Kör és egyenes
    15. Kör adott pontra illeszkedő érintői
    16. Két kör a síkon
    17. Két kör közös érintői a síkban
    18. Apollóniusz-kör
    19. Ellipszis egyenlete
    20. Ajánlható linkek (sík koordinátageometriája)
  4. Függvények
    1. Függvénydiszkusszió
    2. Integrál
  5. Kombinatorika
    1. Hány olyan négyjegyű ...
    2. Hány olyan négyjegyű szám van, ...
  6. Sorozatok, sorok
    1. Sorozatok
    2. Számtani sorozat
    3. Mértani sorozatok
    4. Rekurzív sorozatok
    5. Rekurzív sorozatok (2.)
    6. Adjuk meg a következő két összeget!
    7. Sorok
    8. Ajánlható linkek (sorok, sorozatok)
  7. Számelmélet
    1. Osztó, többszörös
    2. Tökéletes számok
    3. Barátságos számpárok
    4. Prímszámok
    5. Prímpárok
    6. Mi lehet egy négyzetszám utolsó két számjegye?
    7. Még egyszer a tökéletes számokról
    8. Maradékos osztásos probléma
    9. Ajánlható linkek(számelmélet)
    10. 2025. ráadás 1.
    11. Melyik az az ...
  8. Térbeli koordinátageometria
    1. Két pont a térben
    2. Három pont a térben
    3. Pont és egyenes a térben
    4. Két egyenes a térben
    5. Vektorok a térben
    6. Szabályos tetraéder
    7. Linkek (térbeli koordinátageometria)
  9. Valószínűségszámítás
    1. Két kockával dobott számok összege
    2. Valószínűségszámítási probléma B. 5364.
    3. Normális eloszlás
    4. Egy másik folytonos valószínűségi változó
  10. Vektoros megoldások
    1. KöMaL B.5255
    2. C.1792.

1.

Bevezetés

  • 1. Előzmények
  • 2. Előszó

1.1.

Előzmények

A GeoGebra szoftvert már nagyon régen használom. Amíg aktív tanár voltam, az oktatásban nagy rendszerességgel alkalmaztam, amióta nyugdíjba mentem csak [url=https://www.geogebra.org/u/tarcsaytamas]"játszásiból"[/url] foglalkozom vele.[br]Ez idő alatt szoros szakmai együttműködés alakult ki [url=https://hu.wikipedia.org/wiki/Szilassi_Lajos]Dr. Szilassi Lajos Tanár Úr[/url] és köztem. [br]Egy alkalommal ő hívta fel a figyelmemet arra, hogy a GeoGebra CAS a klasszikus GeoGebrában a "Nézet" gombról elérhető. Azóta kezdtem el alkalmazni ezt az eszközt is. [br]Kezdetben csak akkor nyúltam hozzá, ha olyan problémára találtam, amit a klasszikus GeoGebrával nem tudtam megoldani, később egyre nagyobb tudatossággal vettem elő ezt az eszközt.[br][br]Nemrégiben Szilassi Tanár Úr gondolata volt az, hogy érdemes egy GeoGebra könyvet szentelni a CAS-nak. Ezt a gondolatot átvettem, és magamévá tettem. Ennek eredménye az itt következő GeoGebra könyv.
– Tarcsay Tamás

1.2.

–

2.

Algebra

  • 1. Polinomok
  • 2. Algebra és számelmélet problémák
  • 3. Egyenlet
  • 4. Egyenletrendszer
  • 5. Egyenlőtlenségek, egyenlőtlenségrendszerek
  • 6. C. 1797. Logaritmus - geometria
  • 7. Ajánlható linkek (algebra)

2.1.

Polinomok

A polinomok vizsgálatakor használható parancsok
A parancsok többsége egyértelmű jelentéssel bír.[br]13) a maradékos osztás hányadosa[br]14) a maradékos osztás maradéka[br]19) a fentiek egy listában
– Tarcsay Tamás

2.2.

–

2.3.

–

2.4.

–

2.5.

–

2.6.

–

2.7.

–

3.

A sík koordinátageometriája

A GeoGebra egyik fő területe az Euklideszi-sík egy modelljének megadása. Ehhez a Descartes-féle derékszögű koordináta-rendszerben jellemzi a geometriai fogalmakat. Ebből következően ezek az eszközök a GeoGebra CAS-ban is rendelkezésre állnak.

  • 1. Két pont a síkon
  • 2. Három pont a síkon
  • 3. Középvonalháromszög
  • 4. A sík vektorai
  • 5. Egy vektoros probléma
  • 6. Egyenes a síkon
  • 7. Egyenlettel adott egyenes jellemzői
  • 8. Pont és egyenes
  • 9. Szakaszfelező merőleges
  • 10. Két egyenes a síkon
  • 11. Csúcsaival adott háromszög ...
  • 12. Kör
  • 13. Kör?
  • 14. Kör és egyenes
  • 15. Kör adott pontra illeszkedő érintői
  • 16. Két kör a síkon
  • 17. Két kör közös érintői a síkban
  • 18. Apollóniusz-kör
  • 19. Ellipszis egyenlete
  • 20. Ajánlható linkek (sík koordinátageometriája)

3.1.

Két pont a síkon

A pontokat a Descartes-féle derékszögű koordináta-rendszerben a pontokat egy rendezett számpárokkal jellemezzük.
A GeoGebra CAS képes két adott pont[br]- által megadott vektor koordinátái;[br]- távolságának;[br]- által megadott szakasz felezőpontjának;[br]- egymásra vonatkozó tükörképeinek;[br]számolására.[br][br]A 3), 4), 5) sorok tételek megsejtésére is alkalmazhatók.[br][br]Ha az 1) és 2) sorokban konkrét koordinátákat adunk meg akkor a GeoGebra CAS elvégzi a számolásokat:
A 8) és 9) sorokban látható, hogy konkrét pontok esetében a [b]Tükrözés [/b]parancs is megadja a tükörképet.[br][br]A fenti fájlokat használhatjuk konkrét számolások elvégzésére, de dolgozat íratásakor egy tanár arra is felhasználhatja azokat, hogy ugyanazt a feladatot több különböző adattal adja fel a tanítványainak.
– Tarcsay Tamás

3.2.

–

3.3.

–

3.4.

–

3.5.

–

3.6.

–

3.7.

–

3.8.

–

3.9.

–

3.10.

–

3.11.

–

3.12.

–

3.13.

–

3.14.

–

3.15.

–

3.16.

–

3.17.

–

3.18.

–

3.19.

–

3.20.

–

4.

Függvények

  • 1. Függvénydiszkusszió
  • 2. Integrál

4.1.

Függvénydiszkusszió

1.
3) zérushelyek;[br]6) lehetséges szélsőértékhelyek;[br]8) a szigorúan monoton növés intervallumai;[br]10) a szigorúan monoton csökkenés intervallumai;[br]13) lehetséges inflexiós pont helyek;[br]15) a konvexitás intervallumai;[br]16) a konkávság intervallumai;[br]18) - 19) határértékek végtelenben;[br][br]
– Tarcsay Tamás

4.2.

–

5.

Kombinatorika

  • 1. Hány olyan négyjegyű ...
  • 2. Hány olyan négyjegyű szám van, ...

5.1.

Hány olyan négyjegyű ...

... pozitív egész van, ami osztható a jegyeinek összegével? [br][br]A GeoGebra CAS képes arra, hogy előállítsa az összes keresett lehetőséget, és a végén megszámolja azokat.
4) A keresett számok listázása. ( A nem megfelelő számok helyére 0-t rakunk.)[br]5) A bonyolult szerkezetű listát egyszerűsítjük, és a 0-kat kihagyjuk.[br]6) A keresett szám a lista hossza.
Háromjegyű számok esetében
Kétjegyű számok között
– Tarcsay Tamás

5.2.

–

6.

Sorozatok, sorok

  • 1. Sorozatok
  • 2. Számtani sorozat
  • 3. Mértani sorozatok
  • 4. Rekurzív sorozatok
  • 5. Rekurzív sorozatok (2.)
  • 6. Adjuk meg a következő két összeget!
  • 7. Sorok
  • 8. Ajánlható linkek (sorok, sorozatok)

6.1.

Sorozatok

Egy sorozat
1) a sorozat megadása[br]2) - 5) monotonitás vizsgálat[br]6) határérték vizsgálat[br]7) - 8) küszöbszám keresés
Egy másik sorozat
– Tarcsay Tamás

6.2.

–

6.3.

–

6.4.

–

6.5.

–

6.6.

–

6.7.

–

6.8.

–

7.

Számelmélet

  • 1. Osztó, többszörös
  • 2. Tökéletes számok
  • 3. Barátságos számpárok
  • 4. Prímszámok
  • 5. Prímpárok
  • 6. Mi lehet egy négyzetszám utolsó két számjegye?
  • 7. Még egyszer a tökéletes számokról
  • 8. Maradékos osztásos probléma
  • 9. Ajánlható linkek(számelmélet)
  • 10. 2025. ráadás 1.
  • 11. Melyik az az ...

7.1.

Osztó, többszörös

1) értékadás faktoriálissal[br]4) - 6) osztója vizsgálat (Bevitel: [i]floor(a/b)==a/b[/i])[br]7) - 9) prímtényezős felbontás[br]10) osztók listája[br]11) osztók száma[br]12) - 13) osztók összege (két módon)[br]14) a maradékos osztás hányadosa és maradéka listában[br]15) a maradékos osztás hányadosa[br]16) a maradékos osztás maradéka[br]17) - 18) legkisebb közös többszörös[br]19) - 20) legnagyobb közös osztó[br](Ha kettőnél több szám szerepel, akkor kapcsos zárójelbe téve azokat listát kell képezni.)[br][br][br]
Tökéletes számok
Az első [i]h [/i]darab pozitív egész számok közül válogatjuk ki a [url=https://hu.wikipedia.org/wiki/T%C3%B6k%C3%A9letes_sz%C3%A1mok]tökéletes számok[/url]at. [br]A [b]Sorozat [/b]itt "GeoGebra CAS-ul" rendezett elem [i]h[/i]-asokat jelent. [br]Az [i]l[/i] sorozat elemei a 2)-ben feltételes elágazással kapnak értéket. Ha egy szám osztóinak összege a szám kétszerese, akkor ez a szám az érték, egyébként pedig 0.[br]A csupa 0 [i]b[/i] sorozatot a 0-k kiküszöbölésére használjuk. Ez történik 4)-ben egy halmazelméleti kivonással.
– Tarcsay Tamás

7.2.

–

7.3.

–

7.4.

–

7.5.

–

7.6.

–

7.7.

–

7.8.

–

7.9.

–

7.10.

–

7.11.

–

8.

Térbeli koordinátageometria

  • 1. Két pont a térben
  • 2. Három pont a térben
  • 3. Pont és egyenes a térben
  • 4. Két egyenes a térben
  • 5. Vektorok a térben
  • 6. Szabályos tetraéder
  • 7. Linkek (térbeli koordinátageometria)

8.1.

Két pont a térben

– Tarcsay Tamás

8.2.

–

8.3.

–

8.4.

–

8.5.

–

8.6.

–

8.7.

–

9.

Valószínűségszámítás

  • 1. Két kockával dobott számok összege
  • 2. Valószínűségszámítási probléma B. 5364.
  • 3. Normális eloszlás
  • 4. Egy másik folytonos valószínűségi változó

9.1.

Két kockával dobott számok összege

1) a dobások száma[br]2) az 1. kockával dobott számok[br]3) a 2. kockával dobott számok[br]4) a dobott számok összege[br]5) a dobott összegek gyakorisága[br]6) a dobott összegek relatív gyakorisága[br]7) a relatív gyakoriságok közelítő értékei[br][b]Statisztikai jellemzők:[br][/b]8) átlag[br]9) medián[br]10) módusz[br]11) terjedelem[br]12) szórás[br]13) mediánra vett átlagos abszolút eltérés
Megjegyzés:
Más véletlen jelenségek hasonlóképpen modellezhetők.
– Tarcsay Tamás

9.2.

–

9.3.

–

9.4.

–

10.

Vektoros megoldások

  • 1. KöMaL B.5255
  • 2. C.1792.

10.1.

KöMaL B.5255

Vektoros megoldás - A kezdőpontú helyvektorokkal
A feladat:
Tükrözzük középpontosan az [i]ABC[/i] háromszög [i]A[/i] csúcsát [i]B[/i]-re, [i]B[/i] csúcsát [i]C[/i]-re, és [i]C[/i] csúcsát [i]A[/i]-ra, így kapjuk rendre a [i]C[sub]1[/sub][/i],[i] A[sub]1[/sub][/i] és [i]B[sub]1[/sub][/i] pontokat. Mutassuk meg, hogy [i]AA[sub]1[/sub][/i], [i]BB[sub]1[/sub][/i] és [i]CC[sub]1[/sub][/i] hosszúságú oldalakkal háromszög szerkeszthető![br][b]Megjegyzés:[br][/b]Lehet, hogy tanítványaink számára érdemes a problémát [b][i]eldöntendően[/i][/b] fogalmazni.
– Tarcsay Tamás

10.2.

–

Information