Skalarprodukt zwischen Vektoren

Skalarprodukt und s-Multiplikation
Bisher haben wir die Multiplikation eines Vektors mit eienr reellen Zahl betrachtet. Man nennt dies auch "s-Multiplikation". Das kleine s steht für die reelle Zahl (den Skalar).[br][br]Bei der [b]s-Multiplikation[/b] handelt es sich um ein Produkt eines Vektors mit einer reellen Zahl, dessen Ergebnis wieder ein Vektor ist: Ein Vektor und eine reelle Zahl werden durch die s-Multiplikation auf einen Vektor abgebildet.[br][br]Beim [b]Skalarprodukt [/b]handelt es sich um eine neue Form des Produktes: Dem Produkt zweier Vektoren.
Konstruktion des Skalarprodukts
Das Skalarprokukt ist als Abbildung zweier Vektoren auf eine reelle Zahl konstruiert. Bei der Konstruktion dieses neuen Produktes spielt Rechtwinkligkeit (Orthogonalität) die zentrale Rolle. Dieses neue Produkt ist so festgelegt, dass das [b]Produkt zweier aufeinander senkrecht stehender Vektoren[/b] (zweier orthogonaler Vektoren) die [b]Zahl 0[/b] ergibt. Diese Bedingung führt direkt zu folgenden Definition des Skalarprodukts:
Definition des Skalarprodukts
Für zwei Vektoren [math]\vec{a}[/math] und [math]\vec{b}[/math] gilt im dreidimensionalen Anschauungsraum:[br][br][center][img]data:image/png;base64,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[/img][/center]Durch das so festgelegte Skalarprodukt wird also Vektoren [math]\vec{a}[/math] und [math]\vec{b}[/math] eine Zahl, ein Skalar zugeordnet![br][br]Das so festgelegte Skalarprodukt gilt in gleicher Weise für Vektoren im 2d Raum und genauso in höheren Dimensionen.
Skalarprodukt und Orthogonalität
Als direkte Folge der Definition des Skalarprodukts ergibt sich: [br]Zwei Vektoren sind genau dann orthogonal (stehen genau dann senkrecht aufeinander), wenn gilt:[br][center][img]data:image/png;base64,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[/img][/center]

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