Un polinomio [math]p\left(x\right)[/math] è divisibile per un polinomio [math]q\left(x\right)[/math] quando esiste un polinomio [math]a\left(x\right)[/math] tale che [math]p\left(x\right)=a\left(x\right)\cdot q\left(x\right)[/math], e quindi il resto della divisione tra [math]p\left(x\right)[/math] e [math]q\left(x\right)[/math] è [math]0[/math].
Quando il polinomio divisore è del tipo [math]\left(x-a\right),a\in\mathbb{R}[/math], il [i]Teorema del resto[/i] ci consente di conoscere a priori, cioè senza eseguire la divisione, il resto della divisione di un polinomio [math]p\left(x\right)[/math] per un binomio [math]\left(x-a\right)[/math].[br]Tale resto è [math]r=p\left(a\right)[/math].
Il [i]Teorema di Ruffini[/i] utilizza il [i]Teorema del resto[/i] per fornirci un criterio di divisibilità molto utile nelle applicazioni:[br]Condizione necessaria e sufficiente affinché il polinomio [math]p\left(x\right)[/math] sia divisibile per il binomio [math]q\left(x\right)=\left(x-a\right)[/math] è che [math]p\left(a\right)=0[/math].
Puoi applicare il Teorema di Ruffini per verificare se il polinomio [math]p\left(x\right)=5x^3+3x^2+2x+1[/math] è divisibile per il binomio [math]q\left(x\right)=x^2+1[/math]?
No, il Teorema di Ruffini fornisce un criterio di divisibilità solo per polinomi divisori di primo grado, del tipo [math]q\left(x\right)=x-a[/math], dove [math]a[/math] è un numero reale.
Puoi applicare il Teorema di Ruffini per verificare se il polinomio [math]p\left(x\right)=x^3+x^2+6x[/math] è divisibile per il binomio [math]q\left(x\right)=x^2+x[/math]?
No, perchè il polinomio divisore non è di primo grado.[br]Ma in questo caso possiamo applicare un trucco.[br][br]Scriviamo la divisione [math]p\left(x\right):q\left(x\right)[/math] sotto forma di frazione [math]\frac{x^3+x^2+6x}{x^2+x}[/math], poi raccogliamo a fattor comune la [math]x[/math] a numeratore e denominatore e semplifichiamo: [math]\frac{x^3+x^2+6x}{x^2+x}=\frac{x\left(x^2+x+6\right)}{x\left(x+1\right)}=\frac{x^2+x+6}{x+1}[/math].[br][br]Quando [math]x\ne0[/math], la divisione data è equivalente alla divisione [math]\left(x^2+x+6\right):\left(x+1\right)[/math], che soddisfa le condizioni per l'applicazione del Teorema di Ruffini.