Complexe iteratie en fractalen

chris cambré, Mar 21, 2016

Wanneer beschrijft de complexe iteratie van een punt een begrensde baan en wanneer niet? Verken en plot Juliaverzamelingen en de Mandelbrot verzameling. Een apart boek over Julia verzamelingen vind je op [url=https://www.geogebra.org/m/jtvspkce]Julia verzamelingen[/url]. Ook dynamische groei gaat chaotisch gedrag vertonen wanneer de groeifactor vergroot. Meetkundige iteratie leidt tot merkwaardige vormen als de Koch sneeuwvlok of de driehoek van Sierpinsky.

Table of Contents

  1. complexe iteratie
    1. iteratie_reëel
    2. som en product complexe getallen
    3. macht als iteratie
    4. complexe iteratie z² + c
    5. iteratie z² + c met schermafbeelding
    6. julia1attr
    7. mandelbrot
    8. juliaverfplotter
    9. backtracing
    10. mandelbrotplotter
  2. dynamische groei
    1. groei_Verhulst
    2. Feigenbaum
    3. webgrafiek
  3. fractalen
    1. dimensies
    2. kust Groot-Brittannië
    3. de sneeuwvlok van Koch
    4. Kochmacro
    5. Sierpinski-tapijt
    6. Sierpinski-driehoek
    7. sierpinski_toeval
    8. Pythagorasboom
    9. Peano
    10. drakencurve

1.

complexe iteratie

Verken de baan van een punt door een complexe iteratie. Verken en plot Julia verzamelingen en de Mandelbrot verzameling

  • 1. iteratie_reëel
  • 2. som en product complexe getallen
  • 3. macht als iteratie
  • 4. complexe iteratie z² + c
  • 5. iteratie z² + c met schermafbeelding
  • 6. julia1attr
  • 7. mandelbrot
  • 8. juliaverfplotter
  • 9. backtracing
  • 10. mandelbrotplotter

1.1.

iteratie_reëel

[list][*]Vertrek van een reëel getal a.[br][/*][*]Bepaal het volgende punt van de iteratie als het kwadraat van het vorige.[/*][/list]Wat stel je vast?
– chris cambré

1.2.

–

1.3.

–

1.4.

–

1.5.

–

1.6.

–

1.7.

–

1.8.

–

1.9.

–

1.10.

–

2.

dynamische groei

  • 1. groei_Verhulst
  • 2. Feigenbaum
  • 3. webgrafiek

2.1.

groei_Verhulst

afgeremde groei
Bomen groeien niet tot in de hemel, voorraden aan voedsel, energie of grondstoffen zijn niet oneindig groot.[br]Een populatie die te groot wordt, zal spontaan afremmen. Evolueert een populatie naar een stabiele grootte? En hoe krijgen we deze afremming in een voorschrift?[br]De Nederlandse wiskundige Ferdinand Verhulst onderzocht dergelijke dynamische systemen.[br][list][*]Hij vertrok van 1 (=100%) als maximale omvang van een populatie.[/*][*]Hij nam een groeifactor aan die afhankelijk is van de grootte van de populatie.[/*][/list]  Bij een ongeremde groei met groeifactor r is xn+1 = r . xn.[br]  Verhulst nam als groeifactor r (1 - xn)[br]  Bij een kleine waarde van xn zal de exponentiele groei nauwelijks of niet worden afgeremd.[br]  Hoe dichter xn tot de maximale waarde 1 nadert, hoe kleiner de groei wordt.
grafiek
[list][*]We vertrekken van een startwaarde, ergens tussen 0 en1.[/*][*]We passen telkens volgende iteratie toe: xn+1 = xn . r (1 - xn)[/*][/list]We spreken van [i]logistische groei[/i] en de [i]logistische differentievergelijking[/i].
– chris cambré

2.2.

–

2.3.

–

3.

fractalen

In dit hoofdstuk kom je enkele bekende fractalen tegen. Meer fractalen vind je o.a. in het boek [url]https://www.geogebra.org/m/uDxwrdqv[/url].

  • 1. dimensies
  • 2. kust Groot-Brittannië
  • 3. de sneeuwvlok van Koch
  • 4. Kochmacro
  • 5. Sierpinski-tapijt
  • 6. Sierpinski-driehoek
  • 7. sierpinski_toeval
  • 8. Pythagorasboom
  • 9. Peano
  • 10. drakencurve

3.1.

dimensies

[list][*]Neem een lijnstuk met lengte 1.[br]Vergroot je het met factor 2 dan verkrijg je een lijnstuk waar het oorspronkelijke lijnstuk 2[sup]1[/sup] keer in past.[br]Vergroot je het met factor 3 dan verkrijg je een lijnstuk waar het oorspronkelijke lijnstuk 3[sup][b]1[/b][/sup] keer in past. [br]We zeggen: [b]de dimensie van een lijnstuk is 1[/b].[/*][*]Neem een vierkant met zijde 1.[br]Vergroot je het met factor 2 dan verkrijg je een vierkant waar het oorspronkelijke vierkant 2[sup][b]2[/b][/sup] keer in past.[br]Vergroot je het met factor 3 dan verkrijg je een vierkant waar het oorspronkelijke vierkant 3[sup]2[/sup] keer in past. [br]We zeggen: [b]de dimensie van een vierkant is 2[/b].[/*][*]Neem een kubus met ribbe 1.[br]Vergroot je het met factor 2 dan verkrijg je een kubus waar de oorspronkelijke kubus 2[sup]3[/sup] keer in past.[br]Vergroot je het met factor 3 dan verkrijg je een kubus waar de oorspronkelijke kubus 3[sup]3[/sup] keer in past. [br]We zeggen: [b]de dimensie van een kubus is 3[/b].[/*][/list]
– chris cambré

3.2.

–

3.3.

–

3.4.

–

3.5.

–

3.6.

–

3.7.

–

3.8.

–

3.9.

–

3.10.

–

Information