V Geometrische Sätze - Begründen in der Geometrie

t_werner, Feb 22, 2023

Kapitel V des LS 7 BaWü als Selbstlerneinheit

Table of Contents

  1. Mit Winkeln begründen
    1. Wiederholung: Städte "treffen"
    2. 1. Nebenwinkel und Scheitelwinkel
    3. 2a. Stufen- und Wechselwinkel
    4. 2b. Stufen- und Wechselwinkel
    5. Übungen
  2. Winkelsumme im Dreieck
    1. 0. Wiederholung: Dreiecke
    2. 1. Wie groß ist die Summe aller Innenwinkel in einem beliebigen Dreieck?
    3. 2. Beweis - Winkelsumme im Dreieck
    4. 3. Regelheftaufschrieb: Winkelsumme im Dreieck
    5. 4. Übungen: Winkelsumme im Dreieck
  3. Gleichschenklige & gleischseitige Dreiecke
    1. 0. Wiederholung: Besondere Dreiecke
    2. 1. Gleichschenkliges Dreieck konstruieren
    3. 2. Gleichschenklige Dreiecke
    4. 3. Gleichseitige Dreiecke
    5. 4. Übungen: gleichschenklige Dreiecke
  4. Satz des Thales
    1. Einführung: Satz des Thales
    2. AB 1 - Satz des Thales
    3. AB 2 - Satz des Thales
    4. AB 3 - Satz des Thales
    5. AB 4 - Satz des Thales
    6. Regelheftaufschrieb: Satz des Thales
    7. Übungen: Satz des Thales
  5. Umkreis eines Dreiecks
    1. 1. Wo liegt der Ball?
    2. 2. Erarbeitung: Umkreis eines Dreiecks
    3. 3. Umkreis eines Dreiecks
    4. 4. Wo liegt denn nun der Ball?
    5. 5. Regelheftaufschrieb: Umkreis eines Dreiecks
  6. Inkreis eines Dreiecks
    1. Gibt es auch einen Inkreis?
    2. Inkreismittelpunkt
    3. Inkreismittelpunkt Konstruktionsschritte
    4. Regelheftaufschrieb Inkreis und Übung

1.

Mit Winkeln begründen

  • 1. Wiederholung: Städte "treffen"
  • 2. 1. Nebenwinkel und Scheitelwinkel
  • 3. 2a. Stufen- und Wechselwinkel
  • 4. 2b. Stufen- und Wechselwinkel
  • 5. Übungen

1.1.

Wiederholung: Städte "treffen"

Du siehst hier eine Landkarte von einem Teil Europas. Gekennzeichnet sind ein paar Städte Europas.[br][br]Zeichne jeweils einen Strahl in Richtung des gewünschten Winkels. Durch welche Stadt geht der Winkel?
Winkel 1
Der Winkel geht von Madrid über Lissabon  50°  gegen den Uhrzeigersinn. Welche Stadt befindet sich auf dem Strahl?
Winkel 2
Der Winkel geht von Barcelona über Rom 62° im Uhrzeigersinn. Welche Stadt befindet sich auf dem Strahl?
Winkel 3
Der Winkel geht von Mailand über Paris 18° gegen den Uhrzeigersinn. Welche Stadt befindet sich auf dem Strahl?
Winkel 4
Der Winkel geht von Sarajevo über München 43° gegen den Uhrzeigersinn. Welche Stadt befindet sich auf dem Strahl?
– t_werner, peterfleck

1.2.

–

1.3.

–

1.4.

–

1.5.

–

2.

Winkelsumme im Dreieck

  • 1. 0. Wiederholung: Dreiecke
  • 2. 1. Wie groß ist die Summe aller Innenwinkel in einem beliebigen Dreieck?
  • 3. 2. Beweis - Winkelsumme im Dreieck
  • 4. 3. Regelheftaufschrieb: Winkelsumme im Dreieck
  • 5. 4. Übungen: Winkelsumme im Dreieck

2.1.

0. Wiederholung: Dreiecke

Verändere die Position des Punktes C ...
... und beobachte die Seitenlängen und Winkel.[br][br]Du solltest 5 verschiedene Dreiecksarten finden:[br]spitzwinklige, stumpfwinklige, rechtwinklige, gleichschenklige, gleichseitige[br][br]Hast du alle entdeckt?
Wenn ein Dreieck ...
Den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnet man mit:
– t_werner, Christian Leeb

2.2.

–

2.3.

–

2.4.

–

2.5.

–

3.

Gleichschenklige & gleischseitige Dreiecke

  • 1. 0. Wiederholung: Besondere Dreiecke
  • 2. 1. Gleichschenkliges Dreieck konstruieren
  • 3. 2. Gleichschenklige Dreiecke
  • 4. 3. Gleichseitige Dreiecke
  • 5. 4. Übungen: gleichschenklige Dreiecke

3.1.

0. Wiederholung: Besondere Dreiecke

Rechtwinklige Dreiecke
Wann ist ein Dreieck rechtwinklig?
Gleichschenklige Dreiecke
Wann ist ein Dreieck gleichschenklig?
Welche Besonderheit gilt für die Winkel in gleichschenkligen Dreiecken?
Gleichseitige Dreiecke
Wann ist ein Dreieck gleichseitig?
– Wolfgang Wengler, t_werner, Kubik

3.2.

–

3.3.

–

3.4.

–

3.5.

–

4.

Satz des Thales

  • 1. Einführung: Satz des Thales
  • 2. AB 1 - Satz des Thales
  • 3. AB 2 - Satz des Thales
  • 4. AB 3 - Satz des Thales
  • 5. AB 4 - Satz des Thales
  • 6. Regelheftaufschrieb: Satz des Thales
  • 7. Übungen: Satz des Thales

4.1.

Einführung: Satz des Thales

Thales von Milet war ein griechischer Mathematiker und Philosoph. Er lebte ca. 600 Jahre vor Christus in Griechenland. Und da es noch nicht wirklich Fotoapparate gab, könnt ihr euch nur durch untenstehende Darstellung etwa ein Bild von ihm machen. [br][img width=66,height=81]data:image/png;base64,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[b]Satz des Thales[/b] ist ein mathematischer Lehrsatz, den er entdeckt und bewiesen hat. So zumindest die Überlieferung. Heute sollt ihr ihn nachvollziehen und an den Beweis wagen…
Aufgabe:
[list=1][*]Zeichne eine Strecke AB. [icon]/images/ggb/toolbar/mode_segment.png[/icon][br][br][/*][*]Zeichne einen Halbkreis über diese Strecke. [icon]/images/ggb/toolbar/mode_semicircle.png[/icon][br][br][/*][*]Zeichnet nun ein Dreieck (Vieleck), so dass der dritte Punkt auf dem Halbkreis liegt. [icon]/images/ggb/toolbar/mode_polygon.png[/icon][br][br][/*][*]Das entstandene Dreieck ist ein besonderes. Warum?[br]Tipp: Messt alle Innenwinkel des Dreiecks. [icon]/images/ggb/toolbar/mode_angle.png[/icon][br][br][/*][*]Bewegt nun den Punkt C (Punkt auf dem Halbkreis) [b]auf dem Halbkreis[/b], so dass neue Dreiecke entstehen. Was gilt für den Winkel bei C?[br][br][/*][*]Bewegt nun den Punkt C [b]außerhalb oder innerhalb des Halbkreises[/b], so dass neue Dreiecke entstehen. Was gilt dann für den Winkel bei C?[br][/*][/list]
Vermutung:
Liegt der Punkt C auf dem Halbkreis, dann ...
– t_werner

4.2.

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4.3.

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4.4.

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4.5.

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4.6.

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4.7.

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5.

Umkreis eines Dreiecks

  • 1. 1. Wo liegt der Ball?
  • 2. 2. Erarbeitung: Umkreis eines Dreiecks
  • 3. 3. Umkreis eines Dreiecks
  • 4. 4. Wo liegt denn nun der Ball?
  • 5. 5. Regelheftaufschrieb: Umkreis eines Dreiecks

5.1.

1. Wo liegt der Ball?

Der Ball soll von allen Kindern gleich weit weg sein. Wo muss er liegen?[br]1.) Schätze zuerst und verschiebe den Ball an diese Stelle![br]2.) Versuche jetzt die genaue Position zu finden: Welche Werkzeuge kannst du verwenden?[br][br]Wenn du nicht weiter kommst, gehe weiter zur nächsten Seite. Wir kommen noch einmal darauf zurück...
Wo liegt der Ball?
– t_werner, Pöchtrager

5.2.

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5.3.

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5.4.

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5.5.

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6.

Inkreis eines Dreiecks

  • 1. Gibt es auch einen Inkreis?
  • 2. Inkreismittelpunkt
  • 3. Inkreismittelpunkt Konstruktionsschritte
  • 4. Regelheftaufschrieb Inkreis und Übung

6.1.

Gibt es auch einen Inkreis?

Im letzten Kapitel hast du gelernt, dass man bei jedem beliebigen Dreieck einen Umkreis konstruieren kann. Es stellt sich die Frage: [br][br][b]Gibt es in jedem beliebigen Dreieck auch einen Inkreis, der innerhalb des Dreiecks liegt und alle drei Seiten berührt?[br][br][/b]Probiere im untenstehenden Applet, einen Inkreis in das vorhandenen Dreieck einzuzeichnen![br]
Wie findet man den Mittelpunkt des Inkreises?
Es ist ein Dreieck ABC und die Winkelhalbierende [math]w_{\alpha}[/math] gegeben. [br]k ist der Kreis um einen Punkt D auf [math]w_{\alpha}[/math], der die Seite c berührt.
Ziehe an D und beobachte den Kreis k. Welche Seiten berührt der Kreis?
– t_werner, H.-J. Elschenbroich. GeoGebra Institut NRW

6.2.

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6.3.

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6.4.

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Information