Az [i]ABCD[/i] paralelogrammában az [i]A[/i] csúcsot a [i]BC[/i], [i]B[/i] csúcsot a [i]CD[/i], [i]C[/i] csúcsot a [i]DA[/i], [i]D[/i] csúcsot az [i]AB[/i] oldal felezőpontjával kötjük össze. Hányad része a kapott szakaszok által közbezárt négyszög területe a paralelogrammáénak?[right]A forrás: [url=https://www.gyakorikerdesek.hu/kozoktatas-tanfolyamok__hazifeladat-kerdesek__12537112-mennyi-a-negyszog-terulete]gyakorikerdesek.hu[/url][/right][br]

[url=https://www.geogebra.org/m/am75rfvs]https://www.geogebra.org/m/am75rfvs[br][/url]

[url=https://www.geogebra.org/m/jt2awckk]https://www.geogebra.org/m/jt2awckk[/url]

Az [i]ABC[/i] háromszög. [math]E\in BC[/math], [math]F\in CD[/math], [math]H\in AB[/math], úgy, hogy [math]\frac{BE}{BC}=\frac{CF}{CA}=\frac{AH}{AB}=k[/math], [br]ahol 0 < [i]k[/i] < 1.[br]Az [i]AE[/i] és[i] BF[/i] metszéspontja [i]P.[br][/i]A [i]BF[/i] és [i]CH[/i] metszéspontja [i]Q.[br][/i]A[i] CH [/i]és AE metszéspontja [i]R.[/i][br]Hányad része a [i]PQR[/i] háromszög területe az [i]ABC[/i] háromszög területének?[br][br]Egy[url=https://www.geogebra.org/m/am75rfvs] korábbi probléma[/url] továbbgondolása.

Az [math]ABC_{\Delta}[/math] súlypontja [i]S.[br]Az [math]EFH_{\Delta}[/math] [/i]súlypontja [i]S[sub]1[/sub][/i].[br]A [math]PQR_{\Delta}[/math] súlypontja [i]S[sub]2[/sub][/i].[br][br]A fenti fájl alapján (is) sejthető, hogy a három súlypont egybeesik.

A fenti, koordinátageometriai meggondolás nem középiskolai szintű, az ágyúval verébre lövésnek tűnik. Keresgéljünk elemibb megoldási módot![br][url=https://hu.wikipedia.org/wiki/Szilassi_Lajos][b][br]Dr. Szilassi Lajos:[/b][/url][size=100][br]Annyit lehet könnyíteni a  problémán, hogy elegendő azzal az esettel foglalkozni, amikor az [i]ABC[/i] háromszög szabályos. Ugyanis bármely háromszög [url=https://www.google.com/search?q=affinit%C3%A1s%2C+matematika&client=firefox-b-d&sca_esv=599739900&sxsrf=ACQVn0-ar18uO-hylUkRrt_qJhfLbBM3Ww%3A1705654733236&ei=zTmqZfb-DduI9u8PkaauuA0&udm=&ved=0ahUKEwi2me-Di-mDAxVbhP0HHRGTC9cQ4dUDCBA&uact=5&oq=affinit%C3%A1s%2C+matematika&gs_lp=Egxnd3Mtd2l6LXNlcnAiFmFmZmluaXTDoXMsIG1hdGVtYXRpa2EyBRAAGIAESK2rBFDBCFilMXABeAGQAQCYAb4BoAH5C6oBBDAuMTK4AQPIAQD4AQHCAgoQABhHGNYEGLADwgINEAAYgAQYigUYQxiwA8ICChAAGIAEGIoFGEPCAgYQABgWGB7CAggQABgWGB4YD8ICCBAAGBYYHhgK4gMEGAAgQYgGAZAGCg&sclient=gws-wiz-serp]affinitás[/url]sal átvihető szabályos háromszögbe, és az [url=https://www.google.com/search?q=affinit%C3%A1s%2C+matematika&client=firefox-b-d&sca_esv=599739900&sxsrf=ACQVn0-ar18uO-hylUkRrt_qJhfLbBM3Ww%3A1705654733236&ei=zTmqZfb-DduI9u8PkaauuA0&udm=&ved=0ahUKEwi2me-Di-mDAxVbhP0HHRGTC9cQ4dUDCBA&uact=5&oq=affinit%C3%A1s%2C+matematika&gs_lp=Egxnd3Mtd2l6LXNlcnAiFmFmZmluaXTDoXMsIG1hdGVtYXRpa2EyBRAAGIAESK2rBFDBCFilMXABeAGQAQCYAb4BoAH5C6oBBDAuMTK4AQPIAQD4AQHCAgoQABhHGNYEGLADwgINEAAYgAQYigUYQxiwA8ICChAAGIAEGIoFGEPCAgYQABgWGB7CAggQABgWGB4YD8ICCBAAGBYYHhgK4gMEGAAgQYgGAZAGCg&sclient=gws-wiz-serp]affinitás[/url] olyan transzformáció, ami megtartja a területek arányát.[/size][br]

Az [i]ABCD[/i] paralelogramma. [math]E\in BC[/math], [math]F\in CD[/math], [math]K\in DA[/math], [math]H\in AB[/math], úgy, hogy [math]\frac{BE}{BC}=\frac{CF}{CD}=\frac{DK}{DA}=\frac{AH}{AB}=k[/math], [br]ahol 0 < [i]k[/i] < 1.[br]Az [i]AE[/i] és[i] BF[/i] metszéspontja [i]P.[br][/i]A [i]BF[/i] és [i]CK[/i] metszéspontja [i]Q.[br][/i]A[i] CK [/i]és [i]DH[/i] metszéspontja [i]R.[br][/i]A [i]DH [/i]és [i]AE [/i]metszéspontja S.[br]Hányad része a [i]PQRS[/i] négyszög területe az [i]ABCD[/i] paralelogramma területének?[br][br]Egy [url=https://www.geogebra.org/m/nqjtm8pa]korábbi probléma[/url] általánosítása.