Si assuma [math]n=3[/math]. [br][list][*]Studiare la funzione [math]f_3\left(x\right)[/math] e tracciare un suo grafico rappresentativo, dimostrando che ammette un unico zero di segno negativo.[/*][*]Discutere, al variare del parametro [math]k\in\mathbb{R}[/math] il numero e il segno delle soluzioni dell'equazione [math]f_3\left(x\right)=k[/math].[br][/*][/list]

[math]f_3\left(x\right)=2-\frac{3}{x}+\frac{3}{x^3}[/math][br]Il grafico è rappresentato di seguito.[br][br]Sostituendo [math]n=3[/math] nelle espressioni delle derivate calcolate [url=https://www.geogebra.org/m/pqwqkxjh]qui[/url] otteniamo che la funzione ha:[br][list][*]un punto di massimo relativo in [math]\left(-\sqrt{3},\frac{6+2\sqrt{3}}{3}\right)\approx\left(-1.73,3.15\right)[/math][/*][*]un punto di minimo relativo in [math]\left(\sqrt{3},\frac{6-2\sqrt{3}}{3}\right)\approx\left(1.73,0.85\right)[/math][/*][*]un punto di flesso in [math]\left(-\sqrt{6},\frac{4\sqrt{6}+5}{2\sqrt{6}}\right)\approx\left(-2.45,3.02\right)[/math] e uno in [math]\left(\sqrt{6},\frac{4\sqrt{6}-5}{2\sqrt{6}}\right)\approx\left(2.45,0.98\right)[/math][br][/*][/list]

Consideriamo l'intervallo [math]\left[-1,-0.5\right][/math] in cui la funzione è continua.[br][math]f\left(-1\right)=2>0[/math][br][math]f\left(-0.5\right)=-16<0[/math][br]Allora, per il Teorema dell'Esistenza degli Zeri, esiste almeno un punto [math]x_0[/math], interno all'intervallo, in cui la funzione si annulla.[br]Poiché la funzione è decrescente nell'intervallo, il punto [math]x_0[/math] è unico.

Studiare le soluzioni dell'equazione [math]f_3\left(x\right)=k[/math] equivale a studiare le soluzioni del sistema misto costituito da [math]y=f_3\left(x\right)[/math] e dal fascio di rette orizzontali di equazione [math]y=k[/math].[br][br]I valori notevoli per la discussione del sistema sono le ordinate dei massimi e dei minimi della funzione, e l'asintoto orizzontale.[br][br][b]Nota[/b]: utilizza lo slider nell'app di seguito per esplorare il numero e il segno delle soluzioni del sistema.[br][br]Poiché GeoGebra utilizza per il calcolo i valori esatti, ma nell'app i valori sono approssimati a 3 cifre decimali, il numero di soluzioni visualizzate nei punti molto vicini ai punti di tangenza del fascio con la funzione potrebbe non essere quello atteso.

[table][tr][td][b]Intervallo[/b][/td][td][b]Numero soluzioni reali e segno[/b][/td][/tr][tr][td][math]k<\frac{6-2\sqrt{3}}{3}[/math][/td][td]1 soluzione negativa[/td][/tr][tr][td][math]k=\frac{6-2\sqrt{3}}{3}[/math][/td][td]1 soluzione negativa e 2 soluzioni coincidenti positive[/td][/tr][tr][td][math]\frac{6-2\sqrt{3}}{3}[/math]<[math]k[/math]<[math]2[/math][br][/td][td]1 soluzione negativa e 2 soluzioni distinte positive[/td][/tr][tr][td][math]k=2[/math][/td][td]1 soluzione negativa e 1 soluzione positiva[/td][/tr][tr][td][math]2[/math]<[math]k[/math]<[math]\frac{6+2\sqrt{3}}{3}[/math][br][/td][td]2 soluzioni distinte negative e 1 soluzione positiva[/td][/tr][tr][td][math]k=\frac{6+2\sqrt{3}}{3}[/math][br][/td][td]2 soluzioni coincidenti negative e 1 positiva[/td][/tr][tr][td][math]k>\frac{6+2\sqrt{3}}{3}[/math][br][/td][td]1 soluzione positiva[/td][/tr][/table]