Op onderstaande foto zie je een bouwwerk van sneeuwballen bestaande uit vier lagen.

Hoeveel sneeuwballen zitten er in elke laag? Geef antwoord op vraag a, b, c en d hieronder.[br]Tel vanaf de top van het bouwwerk, we noemen dus de bovenste laag [i]laag 1[/i].

Deze getallen zijn voorbeelden van figurale getallen, omdat je er een bepaald figuur van kan maken. Omdat de sneeuwballen steeds met elkaar een driehoek vormen, noemen we deze getallen [b][i]driehoeksgetallen[/i][/b]. Elke laag van het bouwwerk stelt dus een driehoeksgetal voor.

Carl Friedrich Gauss (1777-1855) was een Duitse wis- en natuurkundige, die een zeer belangrijke bijdrage heeft geleverd aan een groot aantal deelgebieden van de wiskunde (en de exacte wetenschappen), waaronder de getaltheorie. [br][br]We gaan kijken hoe je gemakkelijk de getallen 1 t/m 100 bij elkaar op kunt tellen.[br]

[i][b]We gaan nu kijken naar een filmpje[/b][/i] waarin driehoeksgetallen gebruikt worden om snel de som te bepalen van de getallen 1 t/m 100. Hier laat men zien hoe Gauss als zevenjarig jongetje heeft bedacht om heel snel opeenvolgende getallen bij elkaar op te tellen.[br]Begrijp je de truc? En herken je de driehoeksgetallen?

Al ver voordat Gauss geboren was, leefde Blaise Pascal, hij was een Franse wis- en natuurkundige in de 17e eeuw (1623-1662). Hij bouwde o.a. één van de eerste mechanische rekenmachines en had een belangrijke bijdrage in de combinatoriek (ook wel de kunst van het tellen genoemd). Zo bedacht hij een handige manier om routes in een rooster te tellen waarmee de[i] Driehoek van Pascal[/i] ontstond. In deze driehoek zijn heel veel patronen van getallen te ontdekken. We gaan een heel klein tipje van de sluier oplichten.

Via handig tellen kun je bepalen op hoeveel manieren je vanuit [i]Start[/i] (via de kortste weg) naar een punt in dit rooster kunt lopen. In de volgende vragen ga je ontdekken hoe. Begin met het beantwoorden van vraag 9.

Klik in de app hierboven op [i]Reset [/i]en daarna drie keer op >. Je krijgt dan onderstaand figuur.

Controleer de antwoorden van vraag 9 en 10 met de applet door steeds op > te klikken. [br]Had je dit systeem ook bedacht?

Wanneer je de driehoek van Pascal een kwartslag draait kun je ervoor zorgen dat het startpunt bovenaan komt te liggen. Dat ziet er zo uit:

Of zo ([i]merk op[/i]: de hoekpunten van de vierkanten in de vorige figuur zijn nu steeds het middelpunt van een zeshoek):

Herken je de driehoeksgetallen in de[i] Driehoek van Pascal [/i]hierboven?[br](Controleer je antwoord in de figuur onderaan dit werkblad bij oplossing 1.)

We begonnen de les met een piramide van sneeuwballen en hebben toen het aantal sneeuwballen per laag bekeken. Nu gaan we eens kijken naar het totaal aantal sneeuwballen per piramide. We gaan weer uit van een piramide met een driehoek als grondvlak (met andere woorden elke laag van de piramide bestaat uit een driehoek van sneeuwballen).

Zie de tabel hieronder.

Waar zie je deze [i]piramidegetallen[/i] terug in de Driehoek van Pascal?[br](Controleer je antwoord onderaan het werkblad bij oplossing 2.)

De [i]piramidegetallen[/i] liggen allen op de schuine lijn direct links van de driehoeksgetallen (je telt dus steeds een driehoeksgetal op bij het vorige piramidegetal). Zie de paarse lijn in de onderstaande Driehoek van Pascal.