El [b]producto escalar[/b] de dos vectores [math]\begin{matrix}\longrightarrow\\AB\end{matrix}[/math] y [math]\begin{matrix}\longrightarrow\\AC\end{matrix}[/math] se designa [math]\begin{matrix}\longrightarrow\\AB\end{matrix}\cdot\begin{matrix}\longrightarrow\\AC\end{matrix}[/math] y se obtiene del siguiente modo:[br][br][math]\begin{matrix}\longrightarrow\\AB\end{matrix}\cdot\begin{matrix}\longrightarrow\\AC\end{matrix}=|\begin{matrix}\longrightarrow\\AB\end{matrix}|\cdot|\begin{matrix}\longrightarrow\\AC\end{matrix}|\cdot cos\left(\begin{matrix}\wedge\\\begin{matrix}\longrightarrow\\AB\end{matrix},\begin{matrix}\longrightarrow\\AC\end{matrix}\end{matrix}\right)[/math][br][br]Cuando uno de los vectores es nulo, el producto escalar es cero.[br][br]Como [math]|\begin{matrix}\longrightarrow\\AB\end{matrix}|[/math],[math]|\begin{matrix}\begin{matrix}\longrightarrow\\AC\end{matrix}\end{matrix}|[/math] y cos[math]\left(\begin{matrix}\wedge\\\begin{matrix}\longrightarrow\\AB\end{matrix},\begin{matrix}\longrightarrow\\AC\end{matrix}\end{matrix}\right)[/math] son números reales, el producto escalar de dos vectores es [b]un número real[/b], que puede ser positivo, negativo o nulo.

· Conmutativa [math]\begin{matrix}\longrightarrow\\AB\end{matrix}\cdot\begin{matrix}\longrightarrow\\AC\end{matrix}=\begin{matrix}\longrightarrow\\AC\end{matrix}\cdot\begin{matrix}\longrightarrow\\AB\end{matrix}[/math][br][br]· Asociativa [math]k\cdot\left(\begin{matrix}\longrightarrow\\AB\end{matrix}\cdot\begin{matrix}\longrightarrow\\AC\end{matrix}\right)=\left(k\cdot\begin{matrix}\longrightarrow\\AB\end{matrix}\right)\cdot\begin{matrix}\longrightarrow\\AC\end{matrix}=\begin{matrix}\longrightarrow\\AB\end{matrix}\cdot\left(k\cdot\begin{matrix}\longrightarrow\\AC\end{matrix}\right)[/math][br][br]· Distributiva [math]\begin{matrix}\longrightarrow\\u\end{matrix}\left(\begin{matrix}\longrightarrow\\AB\end{matrix}+\begin{matrix}\longrightarrow\\AC\end{matrix}\right)=\begin{matrix}\longrightarrow\\u\end{matrix}\cdot\begin{matrix}\longrightarrow\\AB\end{matrix}+\begin{matrix}\longrightarrow\\u\end{matrix}\cdot\begin{matrix}\longrightarrow\\AC\end{matrix}[/math]

Consideremos ahora dos vectores cualesquiera [math]\begin{matrix}\longrightarrow\\u\end{matrix}[/math] y [math]\begin{matrix}\longrightarrow\\v\end{matrix}[/math] que en el sistema de referencia dado tienen las siguientes coordenadas:[br][br][math]\begin{matrix}\longrightarrow\\u\end{matrix}=\left(x_1,y_1\right)[/math], es decir [math]\begin{matrix}\longrightarrow\\u\end{matrix}=x_1\begin{matrix}\longrightarrow\\i\end{matrix}+y_1\begin{matrix}\longrightarrow\\j\end{matrix}[/math][br][math]\begin{matrix}\longrightarrow\\v\end{matrix}=\left(x_2,y_2\right)[/math], es decir [math]\begin{matrix}\longrightarrow\\v\end{matrix}=x_2\begin{matrix}\longrightarrow\\i\end{matrix}+y_2\begin{matrix}\longrightarrow\\j\end{matrix}[/math][br][br]Vamos a calcular el producto escalar de [math]\begin{matrix}\longrightarrow\\u\end{matrix}\cdot\begin{matrix}\longrightarrow\\v\end{matrix}[/math]:[br][br] [math]\begin{matrix}\longrightarrow\\u\end{matrix}\cdot\begin{matrix}\longrightarrow\\v\end{matrix}=\left(x_1\begin{matrix}\longrightarrow\\i\end{matrix}+y_1\begin{matrix}\longrightarrow\\j\end{matrix}\right)\cdot\left(x_2\begin{matrix}\longrightarrow\\i\end{matrix}+y_2\begin{matrix}\longrightarrow\\j\end{matrix}\right)=x_1\cdot x_2\cdot\left(\begin{matrix}\longrightarrow\\i\end{matrix}\cdot\begin{matrix}\longrightarrow\\i\end{matrix}\right)+x_1\cdot y_2\cdot\left(\begin{matrix}\longrightarrow\\i\end{matrix}\cdot\begin{matrix}\longrightarrow\\j\end{matrix}\right)+y_1\cdot x_2\cdot\left(\begin{matrix}\longrightarrow\\j\end{matrix}\cdot\begin{matrix}\longrightarrow\\i\end{matrix}\right)+y_1\cdot y_2·\left(\begin{matrix}\longrightarrow\\j\end{matrix}\cdot\begin{matrix}\longrightarrow\\j\end{matrix}\right)=x_1\cdot x_2+y_1\cdot y_2[/math][br][br][br][math]\begin{matrix}\longrightarrow\\u\end{matrix}\cdot\begin{matrix}\longrightarrow\\v\end{matrix}=x_1\cdot x_2+y_1\cdot y_2[/math]