LK 11 BOE Analysis I - Kurvendiskussion
Erläuterungen, Übungen und Test zur Kurvendiskussion ganzrationaler Funktionen
Table of Contents
- Verhalten gegen unendlich
- Verhalten gegen Unendlich
- Nullstellen
- Rechnerisches Bestimmen von Nullstellen
- Nullstellen von Polynomfunktionen
- Symmetrie
- Symmetrie von Funktionen - gerade / ungerade
- Monotonieverhalten, Extremstellen, Wendepunkte
- Monotonieverhalten und Extrempunkte
- Monotonieverhalten und Extrempunkte bestimmen
- Übung: Ableitungsfunktionen bilden und zeichnen
- Wendepunkt im Straßenverlauf
- Differentialrechnung - Wendepunkte (Sachsenring-S-Kurve)
- Kurvendiskussion: Übungen und Test
- Kurvendiskussion in 9 Schritten mit Rechenweg
- Wissenstest Symmetrie, Extrem- und Wendepunkte
Verhalten gegen Unendlich
Wie ändert sich das verhalten des Graphen für x gegen + ∞ und x gegen -∞ in Abhängigkeit vom Grad der Funktion (höchster Exponent?
Rechnerisches Bestimmen von Nullstellen
An einer Nullstelle der Funktion [math]f[/math] gilt [math]f(x)=0[/math] beziehungsweise [math]y=0[/math]. Um die Nullstellen rechnerisch zu bestimmen kann man den Funktionsterm gleich Null setzen und dann nach x auflösen.[br]
Beispiel
Bestimme die Nullstellen der Funktion [math]f(x)=x^2-4[/math].[br][br]Antwort:[br]An den Nullstellen gilt:[br][code] [/code] [math]x^2-4=0[/math][code] [/code] [math]|+4[/math] [br][math]\Longleftrightarrow x^2=4[/math][code] [/code] [math]|\sqrt{\phantom{x}[/math][br][math]\Longleftrightarrow x=\pm\sqrt{4}=\pm2[/math][br]Die Nullstellen sind also bei [math]x_1=-2[/math] und [math]x_2=+2[/math].[br]Der Graph von f geht dort durch die Punkte [math]P_1(-2|0)[/math] und [math]P_2=(2|0)[/math][br]
Interpretation
Wenn du die Lösungen der Gleichung [math]x^2+px+q=0[/math] suchst könntest du genauso sagen, dass du gerade die Nullstellen der Funktion [math]f(x)=x^2+px+q[/math] bestimmst.
Übungsaufgaben
Bestimme die Nullstellen der Funktion [math]f(x)=x^2-2[/math] rechnerisch.
Bestimme die Nullstellen der Funktion [math]g(x)=x^2+2[/math] rechnerisch.
Bestimme die Nullstellen der Funktion [math]h\left(x\right)=x^2-16[/math] rechnerisch.
Symmetrie von Funktionen - gerade / ungerade
Monotonieverhalten und Extrempunkte
Die Bedeutung der ersten Ableitung f'(x)
Um das Folgende verstehen zu können, müssen Sie wissen (und am besten auch verstanden haben), was die Ableitung eigentlich bedeutet.[br][br][size=150][b]Merke:[/b][b] [color=#ff0000]Die Ableitung f'(x) gibt die Steigung der Tangente des Graphen an der Stelle x an.[/color][/b][b][br][/b][/size]
Die Steigung der Tangente an der Stelle x ist aber dieselbe wie die Steigung der Funktion f an dieser Stelle. Klicken Sie,um das zu sehen, im folgenden Applet den Punkt [color=#0000ff]A[/color] an. Zoomen Sie nun diesen Bereich heran, indem Sie das Mausrad betätigen bzw. mit beiden Fingern über das Touch-Pad nach oben oder unten streichen.
Wir sehen also: An der Stelle x haben der Funktionsgraph und die Tangente dieselbe Steigung. Damit gibt die Ableitung nicht nur die Steigung der Tangente, sondern auch die Steigung des Graphen an der Stelle x an.[br][br][size=150][b]Merke: [color=#ff0000]Die Ableitung f'(x) gibt die Steigung des Graphen an der Stelle x an.[/color][/b][/size]
Aufgabe
Ziehen Sie mit der Maus im folgenden Applet den Punkt A den Graphen einer Funktion f entlang. Beobachten Sie dabei die Werte der Tangentensteigung m[sub]t[/sub], d.h. der Ableitung f'(x).[br]Es gibt drei Stellen x, an denen die Steigung der Tangente m[sub]t[/sub] null ist. Finden Sie diese.
Fazit
Als Ergebnis halten wir folgende Zusammenhänge fest:[br][br][list][*]In Bereichen, in denen [color=#ff0000]f'(x) < 0 (negativ)[/color] ist, da ist f streng monoton [color=#ff0000]fallend[/color].[/*][*]In Bereichen, in denen[color=#ff0000] f'(x) > 0 (positiv)[/color] ist, da ist f streng monoton[color=#ff0000] steigend[/color].[/*][*]Hat f an der Stelle x[sub]H[/sub] einen [color=#ff0000]Hochpunkt[/color], so ist dort die Tangente waagerecht, d.h. [color=#ff0000]m[sub]t[/sub] = f'(x[sub]H[/sub]) = 0[/color]. Außerdem [color=#ff0000]wechselt das Vorzeichen[/color] von m[sub]t[/sub], d.h. von f'(x) beim Übergang von links von x[sub]H[/sub] nach rechts [color=#ff0000]von + nach -[/color].[/*][*]Hat f an der Stelle x[sub]T[/sub] einen [color=#ff0000]Tiefpunkt[/color], so ist dort die Tangente waagerecht, d.h. [color=#ff0000]m[sub]t[/sub] = f'(x[sub]T[/sub]) = 0[/color]. Außerdem [color=#ff0000]wechselt das Vorzeichen[/color] von m[sub]t[/sub], d.h. von f'(x) beim Übergang von links von x[sub]T[/sub] nach rechts von [color=#ff0000]- nach +[/color].[/*][*]Ein [color=#ff0000]Terassenpunkt[/color] liegt vor, wenn gilt: m[sub]t[/sub] = f'(x[sub]TP[/sub]) = 0, und f'(x) hat rechts und links von x[sub]TP[/sub] dasselbe Vorzeichen, [color=#ff0000]wechselt[/color] also [color=#ff0000]das Vorzeichen nicht[/color].[/*][/list][br]Machen Sie sich dies anhand des obigen Applets noch einmal klar.
Kurvendiskussion in 9 Schritten mit Rechenweg
Mit dieser Animation kannst du selbstständig üben, eine Kurvendiskussion zu erstellen.[br]Das Programm rechnet den Lösungsweg ausführlich mit.[br]Wendepunkte, Hochpunkte und Tiefpunkte werden automatisch ermittelt.[br]Durch die zwei Schaltflächen "neue Funktion" kannst du per Zufallsgenerator verschiedene[br]Funktionen erzeugen. "N1" und "N2" weisen dabei auf den Schwierigkeitsgrad hin.[br]Wenn du nur einen Teilschritt der Kurvendiskussion üben möchtest, lasse einfach den Schieberegler[br]auf den aktuellen Schritt stehen und drücke die "neue Funktion" Schaltfläche.