[right][color=#ff7700][color=#000000][color=#cc4125][color=#980000][size=50]Diese Aktivität ist eine Seite des geogebra-books [url=https://www.geogebra.org/m/ajzpzrbj]Möbius-Werkzeuge circle-tools[/url] (Mai 2019)[/size][/color][/color][/color][/color][/right][size=85][right][/right][/size][size=85]Die Konstruktionen oben sind [color=#0000ff][i][b]kreis-geometrischer,[/b][/i][/color] also [color=#0000ff][i][b]möbius-geometrischer[/b][/i][/color] Natur: bei geeigneter Übersetzung der Konstruktions-Schritte sind die Konstruktionen invariant unter [color=#0000ff][i][b]Möbiustransformationen[/b][/i][/color], das sind die gebrochen-rationalen Transformationen der [b]GAUSS[/b]schen Zahlenebene.[br]Diese Transformationen sind konform, also kreis- und winkeltreu. Speziell gehören die [color=#0000ff][i][b]Kreis-Spiegelungen[/b][/i][/color], also die Inversionen an Kreisen dazu.[br]Die Konstruktionen sind daher beispielsweise durchführbar für [url=https://www.geogebra.org/m/mQgUFHZh#material/jkywzwan]PASCALsche Schnecken[/url], oder [url=https://www.geogebra.org/m/mQgUFHZh#material/rygtypev]Strophoiden[/url]. [br]Für [color=#ff7700][i][b]Strophoiden[/b][/i][/color] zeigen wir die Konstruktion in der Aktivität [url=https://www.geogebra.org/m/ftmge8pe][color=#ff00ff][u][i][b]Seltsame Strophoiden-Konstruktion[/b][/i][/u][/color][/url]. [br][br]Die Konstruktionen verwenden [color=#0000ff][i][b]Schnittpunkte von Kreisen,[/b][/i][/color] [color=#0000ff][i][b]orthogonale[/b][/i][/color] oder sich [color=#0000ff][i][b]berührende Kreise[/b][/i][/color]. Geraden sind spezielle Kreise, nämlich Kreise durch [math]\infty[/math]; dies wird deutlich durch die [url=https://www.geogebra.org/m/ajzpzrbj#material/gzkbeyhb][color=#0000ff][i][b]stereographische Projektion[/b][/i][/color][/url] der [b]GAUSS[/b]schen Zahlen-Ebene auf die [b]RIEMANN[/b]sche Zahlenkugel.[br]Die Konstruktionen oben beruhen mitunter auf den Eigenschaften der [color=#980000][i][b]Mittelsenkrechten[/b][/i][/color]: die Spiegelung an dieser vertauscht zwei Punkte. Die [color=#274E13][i][b]Gärtner-Konstruktion[/b][/i][/color] von [color=#ff7700][i][b]Ellipsen[/b][/i][/color] erklärt sich mit Hilfe der [color=#980000][i][b]Mittelsenkrechten[/b][/i][/color].[br][color=#0000ff][i][b]Möbius-geometrisch[/b][/i][/color] entspricht der euklidischen [color=#0000ff][i][b]Mittelsenkrechten[/b][/i][/color] der [url=https://www.geogebra.org/m/efbe93k6#material/nhp6fm4k][color=#9900ff][i][b]Mittel-Lotkreis[/b][/i][/color][/url]:[br][list][*]Zu 2 Punkten [b]A[/b], [b]B[/b] und einem weiteren Punkt [b]P[/b] gibt es genau einen Kreis [b]k[/b] durch [b]P[/b], an welchem gespiegelt die beiden Punkte [b]A[/b] und [b]B[/b] vertauscht werden.[/*][/list]Natürlich bleiben Abstände bei [color=#0000ff][i][b]Kreis-Spiegelungen[/b][/i][/color] nicht invariant! Der Punkt [b]P[/b] übernimmt für [color=#9900ff][i][b]Mittel-Lotkreise[/b][/i][/color] die Rolle von [math]\infty[/math].[br][br]Für die "[color=#ff00ff][i][b]seltsamen Punkte[/b][/i][/color]" oben fehlt uns eine geometrische Deutung. Für Ellipsen gibt es ähnliche Punkte, welche aber schwieriger zu konstruieren sind.[br][/size]