[size=100]Hemos visto cómo una función de valor vectorial describe una curva en dos o tres dimensiones. Recordemos [b]Fórmulas alternativas para la curvatura[/b], que establece que la fórmula para la longitud de arco de una curva definida por las funciones paramétricas x=x(t), y=y(t), t[sub]1 [/sub]≤ t ≤ t[sub]2[/sub] está dada por:[br] [math]s=\int_{t_1}^{t_2}\sqrt{\left(x'\left(t\right)\right)^2+\left(y'\left(t\right)\right)^2}dt^{ }[/math][br]De forma similar, si definimos una curva suave mediante una función de valor vectorial r(t)=f(t)i+g(t)j, donde a ≤ t ≤ b, la longitud de arco viene dada por la fórmula:[br][left] [math]s=\int^b_a\sqrt{\left(f'\left(t\right)\right)^2+\left(g'\left(t\right)\right)^2}dt[/math][br][br]En tres dimensiones, si la función de valor vectorial está descrita por r(t)=f(t)i+g(t)j+h(t)k en el mismo intervalo a ≤ t ≤ b, la longitud de arco está dada por:[br] [math]s=\int^b_a\sqrt{\left(f'\left(t\right)\right)^2+\left(g'\left(t\right)\right)^2+\left(h'\left(t\right)\right)^2}dt[/math][/left][/size][left][/left]

[b][color=#ff0000][size=200]Ejercicios del 29 al 38(solo impares)[/size][/color][/b]

[size=100][size=150]29.-[math]r\left(t\right)=\left\langle tcost,tsint,\frac{1}{3}\left(2t\right)^{\frac{3}{2}}\right\rangle,0\le t\le2\pi[/math][/size][/size]

[size=100]En el ejercicio 29 parece que geogebra no tiene la capacidad de resolver la integral, por lo que decidí resolverla con una calculadora online:[br][br]Resultado:[math]2\pi\left(\pi+1\right)\approx26.0224[/math][/size]

[size=100][size=150]31.-[math]r\left(t\right)=\left\langle4ln\left(t\right),t^2,4t\right\rangle,1\le t\le3[/math][/size][/size]

33.-[size=150][math]r\left(t\right)=\left\langle cos\left(t\right),sin\left(t\right),cos\left(2t\right)\right\rangle,0\le t\le2\pi[/math][/size]

[size=150]35.[math]r\left(t\right)=\left\langle cos\left(\pi t\right),sin\left(\pi t\right),cos\left(16t\right)\right\rangle,0\le t\le2[/math][/size]

[size=150]37.-[math]r\left(t\right)=\left\langle t,t^2-1,t^3\right\rangle,0\le t\le2[/math][/size]

[size=200][color=#ff0000]Ejercicios del 41 al 44[/color][/size]

[size=100][size=150]41.- La intersección de [math]z=\sqrt{x^2+y^2}[/math]y [math]z=2[/math][/size][/size]

[size=150]42.- La intersección de [math]z=\sqrt{x^2+y^2}[/math] y [math]y+2z=2[/math][/size]

[size=150]43.- La intersección de [math]x^2+y^2=9[/math] y [math]y+z=2[/math][/size]

[size=150]44.-La intersección de [math]y^2+z^2=9[/math] y [math]x=2[/math][/size]