On appelle [b]fonction polynôme du second degré[/b] toute fonction [math]f[/math] définie sur [math]\mathbb{R}[/math] pour laquelle il existe trois réels [math]a,b[/math]et [math]c[/math] avec [math]a\ne0[/math] telle que l'expression de [math]f[/math] est :[center][br] [math]f\left(x\right)=ax^2+bx+c[/math] [/center]

[size=150][size=200][color=#38761d][b]III. Sommet de la parabole[/b][br][/color][size=100]On se propose d'étudier le sommet de la parabole d'équation [math]y=ax^2+bx+c[/math]. Ce sommet S est figuré en rose sur la figure ci-dessous, ainsi que l'axe de symétrie de la parabole.[br][/size][/size][/size]Faites varier [i]a[/i], [i]b[/i], et [i]c [/i]et observez le sommet S et plus particulièrement son abscisse.

En gardant [math]a=1[/math], faites varier [math]b[/math] sur le graphique suivant :

En remarquant que pour tous réels [i]a[/i], [i]b[/i], [i]c[/i] avec [math]a\ne0[/math]:[br][math]ax^2+bx+c=a\left(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}\right)[/math][br]On peut démontrer que :[br][size=150][b][color=#0000ff]Propriété :[/color] [/b]L'abscisse du sommet de la parabole d'équation est [math]\boxed{ x_S=-\frac{b}{2a} }[/math][math][/math][/size]

L'ordonnée du sommet S de la parabole est l'image de son abscisse [math]x_S[/math] par la fonction [math]f[/math] définie par [math]f\left(x\right)=ax^2+bx+c[/math][br]Il suffit donc de calculer [math]f(x_S)[/math] après avoir déterminer [math]x_S[/math] par la formule précédente.[br]Nous allons appliquer cela dans la méthode à suivre pour obtenir une allure de la parabole dont on a une équation.[br]

[b][color=#38761d][size=200]IV. Tracé de l'allure d'une parabole[/size][/color][/b]

Donner l'allure de la parabole d'équation [math]y=-x^2+2x+2[/math][br]On pourra tracer l'allure avec l'outil croquis [icon]/images/ggb/toolbar/mode_freehandshape.png[/icon] après avoir mené quelques calculs et placé des points ainsi que l'axe de symétrie.

Donner l'allure de la parabole d'équation [math]y=x^2-4x-1[/math]