Potenzfunktionen erkunden
Mit Hilfe dieser Seiten könnt ihr interaktiv die Potenzfunktionen kennenlernen.
Table of Contents
- Einführung
- Einführung Potenzfunktionen
- Lineare Funktionen
- Quadratische Funktionen sind Potenzfunktionen
- Die Scheitelpunktform untersuchen
- Potenzfunktionen mit positivem Exponenten
- Potenzfunktionen n-ten Grades, n>0
- Potenzfunktionen mit negativem Exponenten
- Potenzfunktionen n-ten Grades, n<0
- Potenzfunktionen mit rationalen Exponenten*
- Potenzfunktionen mit rationalem Exponenten
Einführung Potenzfunktionen
Einige Potenzfunktionen kennst du schon. In diesem Buch lernst du noch mehr kennen![br][br]Potenzfunktionen sind Funktionen [math]f\left(x\right)[/math] , bei welchen x mit einer Potenz vorkommt.[br][br]Du kennst schon [b]lineare Funktionen[/b] [math]f\left(x\right)=m\cdot x+n[/math] . Bei linearen Funktionen kommt als höchste Potenz von [math]x[/math] die Potenz [math]x=x^1[/math] vor. Lineare Funktionen sind also [b]Potenzfunktionen ersten Grades[/b].[br] [br]
Potenzfunktionen n-ten Grades, n>0
[size=150][b][i]Übernimm [/i][/b]die folgende Definition unter obiger Überschrift in deinen Hefter.[color=#0000ff][br][b][br]Definition[/b][/color][/size][br][br]Funktionen [math]f[/math] der Form[math]f\left(x\right)=a\cdot x^n[/math] heißen [b]Potenzfunktionen n-ten Grades[/b] ([math]a\in\mathbb{R},n\in\mathbb{N}[/math]).[br]Die zugehörigen Funktionsgraphen heißen [b]Parabeln n-ter Ordnung[/b].
[size=150][color=#0000ff][b]1. Potenzfunktionen mit geradem Exponenten[/b][/color][/size][br][br]Hierbei handelt es sich um die Funktionen: [math]f\left(x\right)=a\cdot x^n[/math], n ist eine gerade Zahl (2, 4, 6, ....).[br][br][b][i]Beantworte [/i]die folgenden Fragen mit Hilfe des Applets in deinem Hefter.[/b] Verwende die Wörter:[br][br]- Steigung[br]- monoton fallend/ steigend für x>0 / x<0[br]- nach unten/ oben geöffnet[br][br]1) Die Graphen aller Potenzfunktionen mit geradem Exponenten haben eine ähnliche Form. [br]Beschreibe ihren Verlauf.[br][br]2) Beschreibe, wie sich der Funktionsgraph verändert, wenn du den Vorfaktor [i]a[/i] veränderst.[br][br]3) Beschreibe, wie sich der Funktionsgraph verändert, wenn du den Exponenten [i]n[/i] veränderst.
[size=150][color=#0000ff][b]2. Potenzfunktionen mit ungeradem Exponenten[/b][/color][/size][br][br]Hierbei handelt es sich um die Funktionen: [math]f\left(x\right)=a\cdot x^n[/math], n ist eine ungerade Zahl (3, 5, 7, ....).[br][br][b][i]Beantworte [/i]die folgenden Fragen mit Hilfe des Applets in deinem Hefter.[/b] Verwende die Wörter:[br][br]- Steigung[br]- monoton fallend/ steigend für x>0 / x<0[br]- nach unten/ oben geöffnet[br][br]1) Die Graphen aller Potenzfunktionen mit ungeradem Exponenten haben eine ähnliche Form. [br]Beschreibe ihren Verlauf.[br][br]2) Beschreibe, wie sich der Funktionsgraph verändert, wenn du den Vorfaktor [i]a[/i] veränderst.[br][br]3) Beschreibe, wie sich der Funktionsgraph verändert, wenn du den Exponenten [i]n[/i] veränderst.
Potenzfunktionen n-ten Grades, n<0
[size=150][b][i]Übernimm [/i][/b]die folgende Definition unter obiger Überschrift in deinen Hefter.[color=#0000ff][br][b][br]Definition[/b][/color][/size][br][br]Funktionen [math]f[/math] der Form[math]f\left(x\right)=a\cdot x^{-n}[/math] heißen [b]Potenzfunktionen mit[/b][b] negativem Exponenten[/b] ([math]a\in\mathbb{R},n\in\mathbb{N}[/math]).[br]Die zugehörigen Funktionsgraphen heißen [b]Hyperbeln[/b].
[size=150][color=#0000ff][b]1. Potenzfunktionen mit geradem negativem Exponenten[/b][/color][/size][br][br]Hierbei handelt es sich um die Funktionen: [math]f\left(x\right)=a\cdot x^{-n}[/math], n ist eine gerade Zahl (2, 4, 6, ....).[br][br][b][i]Beantworte [/i]die folgenden Fragen mit Hilfe des Applets in deinem Hefter.[/b] Verwende die Wörter:[br][br]- Steigung[br]- monoton fallend/ steigend für x>0 / x<0[br]- nach unten/ oben geöffnet[br][br]1) Die Graphen aller Potenzfunktionen mit negativem geradem Exponenten haben eine ähnliche Form. [br]Beschreibe ihren Verlauf.[br][br]2) Beschreibe, wie sich der Funktionsgraph verändert, wenn du den Vorfaktor [i]a[/i] veränderst.[br][br]3) Beschreibe, wie sich der Funktionsgraph verändert, wenn du den Exponenten [i]n[/i] veränderst.[br][br]4*) Welchen Wert nimmt die Funktion bei x=0 an? Was lässt das über den Definitionsbereich vermuten?[br][br]5*) Hat der Graph eine/ mehrere Symmetrieachsen?
[size=150][color=#0000ff][b]2. Potenzfunktionen mit ungeradem negativem Exponenten[/b][/color][/size][br][br]Hierbei handelt es sich um die Funktionen: [math]f\left(x\right)=a\cdot x^{-n}[/math] , n ist eine ungerade Zahl (3, 5, 7, ....).[br][br][b][i]Beantworte [/i]die folgenden Fragen mit Hilfe des Applets in deinem Hefter.[/b] Verwende die Wörter:[br][br]- Steigung[br]- monoton fallend/ steigend für x>0 / x<0[br]- nach unten/ oben geöffnet[br][br]1) Die Graphen aller Potenzfunktionen mit negativem ungeradem Exponenten haben eine ähnliche Form. [br]Beschreibe ihren Verlauf.[br][br]2) Beschreibe, wie sich der Funktionsgraph verändert, wenn du den Vorfaktor [i]a[/i] veränderst.[br][br]3) Beschreibe, wie sich der Funktionsgraph verändert, wenn du den Exponenten [i]n[/i] veränderst.[br][br]4*) Welchen Wert nimmt die Funktion bei x=0 an? Was lässt das über den Definitionsbereich vermuten?[br][br]5*) Hat der Graph eine/ mehrere Symmetrieachsen?
Potenzfunktionen mit rationalem Exponenten
[size=150][b][i]Übernimm [/i][/b]die folgende Definition unter obiger Überschrift in deinen Hefter.[color=#0000ff][br][b][br]Definition[/b][/color][/size][br][br]Funktionen [math]f[/math] der Form[math]f\left(x\right)=x^{-k}[/math] heißen [b]Potenzfunktionen mit[/b][b] rationalen Exponenten[/b] ([math]k\in\mathbb{Q},x\in\mathbb{R}[/math])[br]oder auch Wurzelfunktionen.
[size=150][color=#0000ff][b]1. Potenzfunktionen mit rationalem Exponenten[/b][/color][/size] 0<k<1[br][br]Hierbei handelt es sich um die Funktionen: [math]f\left(x\right)=x^k[/math], k ist ein Bruch und k ist kleiner als 1.[br][br][b][i]Beantworte [/i]die folgende Fragen mit Hilfe des Applets in deinem Hefter.[/b] [br][br]1) Die Graphen aller Potenzfunktionen mit rationalem Exponenten k und 0<k<1 haben eine ähnliche Form. [br]Beschreibe ihren Verlauf.
[size=150][color=#0000ff][b]2. Potenzfunktionen mit rationalem Exponenten[/b][/color][/size] k>1[br][br]Hierbei handelt es sich um die Funktionen:[math]f\left(x\right)=x^k[/math] , k ist ein Bruch und k ist größer als 1.[br][br][b][i]Beantworte [/i]die folgende Fragen mit Hilfe des Applets in deinem Hefter.[/b] [br][br]1) Die Graphen aller Potenzfunktionen mit rationalem Exponenten k und k>1 haben eine ähnliche Form. [br]Beschreibe ihren Verlauf.