Une entreprise paysagiste doit créer un espace « jardin et terrasse » sur un terrain ABDC de forme[br]carrée de côté 8 m. Le projet présenté aux clients, modifiable à souhait, est schématisé ci-contre. La partie jardin est hachurée (carré et triangle ayant un sommet commun). La terrasse occupe le reste du terrain.[br]Le point M peut occuper n'importe quelle position sur le segment [AB].[br][br]Le client souhaite que l'aire du jardin soit minimale. Le but du problème est de déterminer comment placer le point M pour que l'aire du jardin soit minimale.[br][br]
b) Conjecturer la position du point M pour laquelle l'aire est minimale.
2) On note [i]x[/i] la longueur AM.
a) Dans quel intervalle la variable [i]x[/i] prend-t-elle ses valeurs ?[br][br]
[br]b) Exprimer en fonction de [i]x[/i] :[br]- l'aire du carré AMFE ;[br]- l'aire du triangle CFD ;[br]- l'aire totale du jardin que l'on notera [i]f(x)[/i].[br][br]
d) Utiliser la figure pour conjecturer les variations de la fonction [i]f[/i] :[br][br]
3) Montrer que [i]f[/i]([i]x[/i]) = ([i]x[/i] - 2)² + 28 et démontrer la conjecture faite à la question 1[br]