A continuación se muestra con un ejemplo muy sencillo cómo calcular la expresión analítica de la función inversa de una función dada:[br][br]Consideremos la función [math]f\left(x\right)=2x+1[/math].[br]Esta función asigna a cada número real, su doble más 1. Por tanto, su función inversa consistirá en dividir entre 2, y restar 1. Pero, ¿en qué orden? ¿será [math]f^{-1}\left(x\right)=\frac{x}{2}-1[/math] o tal vez [math]f^{-1}\left(x\right)=\frac{x-1}{2}[/math] ?[br][br]Para evitar confusiones se pueden seguir los siguientes pasos:.[br][color=#9900ff][br][/color][color=#9900ff] [1] Expresar [/color][math]f\left(x\right)[/math][color=#9900ff] con notación de coordenadas (es decir, escribir y en lugar de f(x))[/color][br][math]y=2x+1[/math][color=#9900ff][br][br] [2] Intercambiar x con y (una vez hecho esto, (x,y) ya es un punto de la función inversa)[br][br][/color][math]x=2y+1[/math][color=#9900ff][br][br] [3] Despejar y[br][br][/color][math]y=\frac{x-1}{2}[/math][color=#9900ff] [br][br] [4] Solución: [/color][math]f^{-1}\left(x\right)=\frac{x-1}{2}[/math][color=#9900ff].[br][/color][br][br]Ese paso de intercambiar x con y, gráficamente se puede mostrar con un giro y una simetría.[br][br]Observa la gráfica de las siguientes funciones, y la de sus inversas mediante esa transformación (giro+simetría):
Escribe las expresiones analíticas de la función inversa de cada una de las cuatro funciones anteriores,[br]
[math]f\left(x\right)=2x+1\longrightarrow f^{-1}\left(x\right)=\frac{x-1}{2}[/math][br][br][math]f\left(x\right)=x^3\longrightarrow f^{-1}\left(x\right)=\sqrt[3]{x}[/math][br][br][math]f\left(x\right)=e^x\longrightarrow f^{-1}\left(x\right)=ln\left(x\right)[/math][br][br][math]f\left(x\right)=\frac{1}{x}\longrightarrow f^{-1}\left(x\right)=\frac{1}{x}[/math]
¿Cómo dirías que es la gráfica de una función respecto a la de su inversa?
[color=#ff0000]Las gráficas de [math]f\left(x\right)[/math] y [math]f^{-1}\left(x\right)[/math] son simétricas entre sí respecto de la bisectriz de los cuadrantes primero y tercero, es decir respecto de la gráfica de [/color][math]id\left(x\right)=x[/math][color=#ff0000].[/color]
Habrás observado que la función [math]f\left(x\right)=\frac{1}{x}[/math] en una función especial ya que ella es su propia inversa. Por ese motivo se llama función involutiva. Indica otras tres funciones que sean involutivas.
[list=1][*][math]id\left(x\right)=x[/math][br][/*][*][math]f\left(x\right)=-x[/math][br][/*][*][math]f\left(x\right)=-\frac{1}{x}[/math][br][br][br][/*][/list]