Eine Zufallsvariable ist eine beliebige Größe, die vom Zufall abhängig ist. Das kann der Geldgewinn bei einem Glücksspiel sein, das kann die Länge eines ausgefallenen Haares sein oder die Anzahl wie viel 6-en fallen, wenn Sie 10 mal Würfeln.[br][br]Wenn man eine Zufallsvariable betrachtet, dann erstellt man sich in der Regel eine Wahrscheinlichkeitsverteilung.

Bei dem Glücksspiel [b][i][color=#980000]Klein gewinnt[/color][/i][/b] bekommen Sie beim Würfeln einer 1 einen Gewinn von 2€ (also Ihren Einsatz zurück plus zwei Euro), beim Würfeln einer 2 gewinnen Sie 0,5€, bei einer 3 oder einer 4 bekommen Sie Ihren Einsatz zurück und in allen anderen Fällen zahlen Sie 1€ an die Bank.[br]Daraus lässt sich folgende Wahrscheinlichkeitsverteilung erstellen:[br][math]\begin{array}{c|c|c|c|c}[br]\text{Zufallsvariable X}& 2€&0,5€ & 0€ & -1€\\[br]\hline[br]\text{Wahrscheinlichkeit }P(x_i)&\frac 16&\frac 16&\frac 13&\frac 13 [br]\end{array}[/math]

Wenn man wissen möchte, ob sich ein Glücksspiel lohnt, wenn man es nur lange genug spielt, dann berechnet man den Erwartungswert. Wie viel erwarte ich auf Dauer zu gewinnen?[br][br]Nennen wir unsere Zufallsvariable [math]X[/math], dann gibt es die einzelnen Ergebnisse: [math]x_1[/math], [math]x_2[/math], [math]x_3[/math] ...[br]Dann lautet die Formel zum Berechnen des Erwartungswertes [br][br][math]E(X)=x_1\cdot P(x_1)+x_2\cdot P(x_2)+x_3\cdot P(x_3)+...[/math][br][br]Diese Größe hat eine große Ähnlichkeit zum arithmetischen Mittel aus der Statistik. Oft wird auch das [b]Summenzeichen[/b] [math]\sum[/math] für diese Formel verwendet. Für [math]n[/math] verschiedene Zufallsvariablen gilt dann: [br][math]\displaystyle{E(X)=\sum_{i=1}^nx_i\cdot P(x_i)}[/math][br]Der Erwartungswert des oben genannten Glücksspiels ist: [br][math]E(X)=2€\cdot\frac{1}{6}+0,5€\cdot \frac 16+0€\cdot\frac{1}{3}+(-1€)\cdot\frac{1}{3}=\frac 1{12}€\approx 0,083€[/math][br]Dieses Glücksspiel sollten Sie spielen, wenn Sie Geld verdienen wollen. Sie sollten dabei im Schnitt ca. [math]0,08€[/math] also [math]8Cent[/math] verdienen.[br][br]Bei einem [color=#980000][b]fairen Spiel[/b][/color] ist der Erwartungswert [math]\mathit\mathbf\fgcolor{#980000}{E(X)=0€}[/math] . Das heißt die Bank gewinnt mit der gleichen Wahrscheinlichkeit wie die Spieler:innen.

Wie in der Statistik, kann man hier von der Standardabweichung ablesen, ob der durchschnittliche Gewinn stark vom Mittelwert abweicht oder nicht. Die Gleichung für die Standardabweichung ist:[br][math]\sigma=\sqrt{\left(x_1-E(X)\right)^2\cdot P(x_1)+\left(x_2-E(X)\right)^2\cdot P(x_2)+\left(x_3-E(X)\right)^2\cdot P(x_3)+...}[/math][br]oder mit Summenzeichen:[br][math]\[ \sigma(X) = \sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left(x_i-E(X)\right)^2\cdot P(x_i)} \][/math][br][br]Für das obenstehende (nicht faire) Beispiel mit dem Erwartungswert von [math]E=\frac{1}{12}[/math] ist die Standardabweichung:[br][math]\sigma(X)=\sqrt{\left(2€-\frac 1{12}€\right)^2\cdot \frac 16+\left(0,5€-\frac 1{12}€\right)^2\cdot \frac 16+\left(0€-\frac 1{12}€\right)^2\cdot \frac 13+\left((-1)€-\frac 1{12}€\right)^2\cdot \frac 13}\approx 1,02€[/math][br][br]Das heißt, wenn Sie dieses Spiel spielen, dann gewinnen Sie [math]\frac{1}{12}€\approx8Cent[/math] pro Spiel, plus minus [math]1,02€[/math].[br]Die [b][color=#980000]Standardabweichung[/color][/b] ist also so etwas, wie [b][color=#980000]die mittlere Abweichung vom Erwartungswert[/color][/b].[br][br]Wenn Sie die Standardabweichung der beiden fairen Spielvarianten aus den oben stehenden Aufgaben berechnen, dann werden Sie feststellen, dass die Standardabweichung bei einem höherem Gewinn aber auch einem höheren Einsatz größer ist, als bei der zweiten Variante. Probieren Sie es aus.[br]Obwohl beide Spiele fair sind, und daher einen Erwartungswert von [math]0€[/math] haben, ist Ihr Glück bei der ersten Variante stärkeren Schwankungen ausgesetzt, denn Sie haben hier mehr zu gewinnen, aber auch mehr zu verlieren.