Differentialrechnung
Mithilfe dieses Geogebra-Buches lernen Sie die Grundlagen der Differentialrechnung. [color=#c51414]Das Buch ist noch in der Entstehungsphase und daher nicht vollständig. Nach und nach werden weitere Inhalte ergänzt. [/color]
Table of Contents
- Steigung eines Funktionsgraphen
- Einleitung
- Steigung eines krummlinigen Graphen in einem Punkt
- Graphisches Differenzieren
- Anleitung - So geht's
- Interaktive Übungen
- Durchschnittliche und lokale Änderungsrate
- Ableitungsregeln
- Ableitungsregeln
- Ableitungsregeln - Erklärvideo
- Ableitungsregeln - Übungsaufgaben
- Ableitung bestimmen (komplexer)
- Ableitung an einer Stelle
- Umkehrung zum Ableiten
- Durchschnittliche-Lokale-Änderungsrate
- Ableitungsfunktion der Sinus- und Kosinusfunktion
Einleitung
Einleitung
Die Differentialrechnung in die Grundlage für die weitere Analysis. [br]Bei der Differentialrechnung geht es darum, das Steigungsverhalten von Graphen zu beschreiben bzw. zu vorgegebenen Funktionsgleichungen rechnerisch eine Steigungsfunktion (Ableitungsfunktion) zu berechnen. [br]Das Steigungsverhalten von Funktionen ist für viele außermathematische Themenbereiche wichtig, denn mithilfe des Steigungsverhalten kann man darauf schließen, wie sich zukünftig z.B. ein Wachstum entwickelt. [br][br]Im folgenden Video erfahren Sie, was genau man unter der Steigung eines Graphen versteht und wie man die Steigung annähernd für krummlinige Graphen bestimmen kann.
Anleitung - So geht's
Sehen Sie sich das Video mit der Anleitung zum graphischen Differenzieren an. [br]
Ableitungsregeln
[b]Potenzregel[/b][br]Der Exponent wird in der Ableitung als Faktor vor der Potenz notiert. Der Exponent wird um 1 gesenkt.[br][br][math]f\left(x\right)=x^n[/math][br][math]f'\left(x\right)=n\cdot x^{n-1}[/math][br][br][i][u]Beispiel:[/u][/i][br][math]f\left(x\right)=x^5[/math] [br][math]f'\left(x\right)=5x^{5-1}=5x^4[/math][br][br][b]Konstante Summanden[br][/b]Ein konstanter Summand fällt beim Ableiten weg.[br][math]f\left(x\right)=g\left(x\right)+c[/math][br][math]f'\left(x\right)=g'\left(x\right)[/math][br][br][i][u]Beispiel:[br][/u][/i][math]f\left(x\right)=x^4+17[/math][br][math]f'\left(x\right)=4x^3[/math][b][br][br]Faktorregel[br][/b]Ein konstanter Faktor bleibt beim Ableiten erhalten.[br][b][math]f\left(x\right)=a\cdot g\left(x\right)[/math][br][math]f'\left(x\right)=a\cdot g'\left(x\right)[/math][br][/b][i][u][br]Beispiel:[br][/u][/i][math]f\left(x\right)=12x^3[/math][b][br][math]f'\left(x\right)=12\cdot3\cdot x^2=36x^2[/math][br][br]Summenregel[br][/b]Die Ableitung der Summe zweier Funktionen ist die Summe der Ableitungen.[br][math]f\left(x\right)=g\left(x\right)+h\left(x\right)[/math][br][math]f'\left(x\right)=g'\left(x\right)+h'\left(x\right)[/math][br][br][i][u]Beispiel:[br][math]f\left(x\right)=x^3+x^6[/math][br][math]f'\left(x\right)=3x^2+6x^5[/math][/u][/i]