fonctions du second degré
Collection de ressources créés par des enseignants de l'académie de Versailles. Groupe de ressources piloté par Vincent Pantaloni, IA-IPR de mathématiques. Ces activités sont spécifiquement conçues pour être utilisées avec GeoGebra Classroom. Vous trouverez des tutoriels sur comment utiliser ces ressources avec GeoGebra Classroom ici : Tutoriel GeoGebra Classroom : https://www.geogebra.org/m/nfqzmczv Apprendre à utiliser les ressources : https://www.geogebra.org/m/cp5ef7er Euler, le site disciplinaire de mathématiques de l'académie de Versailles : https://euler.ac-versailles.fr/
Table of Contents
- 1re Introduction aux polynômes du second degré.
- Fonction polynôme du second degré. Découverte 1
- Fonction polynôme du second degré. Sommet de la parabole.
- 1re - Second degré : modélisation d'un lancer de poids.
- Modélisation. (1/3)
- 2de Tableau de signe d'une fonction
- Tableau de signe d'une fonction ; Résolution graphique d'inéquation
- 2de - Variation des fonctions
- Tableau de variation d'une fonction
- Savoir construire une courbe a partir d'un tableau de variations
Fonction polynôme du second degré. Découverte 1
Definition
On appelle [b]fonction polynôme du second degré[/b] toute fonction [math]f[/math] définie sur [math]\mathbb{R}[/math] pour laquelle il existe trois réels [math]a,b[/math]et [math]c[/math] avec [math]a\ne0[/math] telle que l'expression de [math]f[/math] est :[center][br] [math]f\left(x\right)=ax^2+bx+c[/math] [/center]
Objectif
On se propose d'étudier l'effet des différents coefficients réels [math]a[/math], [math]b[/math] et [math]c[/math] sur la courbe de la fonction [i]f [/i]d'expression [math]f\left(x\right)=ax^2+bx+c[/math]
[size=150][b][color=#38761d][size=200] I. Ordonnée à l'origine[/size][/color][/b][/size]
Ici [i]c [/i]a été fixé égal à 1. [br][list=1][*]Faites varier [i]a[/i] et [i]b. [/i][/*][*]En activant la trace, observer que les courbes passent toutes par un même point. [/*][*]Placer ce point sur le graphique.[/*][/list]
Quelles sont les coordonnées de ce point commun à toutes les courbes lorsque [i]a[/i] et [i]b[/i] varient ?
Avec l'appliquette suivante
[list][*]Choisir des valeurs pour [i]a [/i] et [i] b ;[br][/i][/*][*]Activer la trace ;[/*][*]Faire varier [i]c.[/i][/*][/list]Effacer la trace et recommencer avec d'autres valeurs de [i]a[/i] et [i]b. [/i]Observer.
Décrire le déplacement de la courbe quand [math]c[/math] varie.
Où peut-on lire graphiquement la valeur de c ?
Démonstration
Prouver votre observation par un calcul d'image avec [math]f(x)=ax^2+bx+c[/math]
Attribuer à chaque parabole d'équation y =ax²+bx+c sa valeur de c en déplaçant les attaches rondes des étiquettes
[color=#38761d][b][size=150][size=200] II. Coefficient dominant[/size][/size][/b][/color]
Faire varier a et observer son effet sur la courbe.
Il existe une valeur particulière de [i]a[/i] pour laquelle la courbe n'a pas une forme comme les autres. [br][list=1][*]Quelle est cette valeur de [i]a [/i]?[/*][*]La fonction [i]f[/i] n'est alors plus un polynôme du second degré. De quel type de fonction s'agit-il alors ?[/*][/list]
Définitions
Soit trois réels [math]a,b[/math]et [math]c[/math] avec [math]a\ne0[/math] .On considère la [b]fonction polynôme du second degré[/b] [math]f[/math] définie sur [math]\mathbb{R}[/math] par [math]f\left(x\right)=ax^2+bx+c[/math] [br][list][*]Le coefficient [i]a [/i]s'appelle le [b]coefficient dominant[/b] du polynôme [i]f.[/i][/*][*]La courbe représentative de[i] f, [/i]d'équation [math]y=ax^2+bx+c[/math] s'appelle une [b]parabole[/b].[/*][/list][br]
Pour quelles valeurs du coefficient dominant [i]a[/i] le polynôme admet-il un minimum sur [math]\mathbb{R}[/math] ?
Cocher chaque parabole d'équation y =ax²+bx+c dont le coefficient dominant a est strictement POSITIF
Bilan.
Soit trois réels [math]a,b[/math] et [math]c[/math] avec [math]a\ne0[/math] .On considère la [b]fonction polynôme du second degré[/b] [math]f[/math] définie sur [math]\mathbb{R}[/math] par [math]f\left(x\right)=ax^2+bx+c[/math] [br]On a vu et on retiendra que :[br][list][*][color=#0000ff]le signe de [i]a,[/i] le coefficient dominant, détermine si la fonction polynôme admet un minimum (lorsque [i]a[/i]<0) ou un maximum sur [b]R[/b] ;[/color][/*][*][color=#0000ff]c correspond à l'ordonnée à l'origine. [/color][br][br]Exercice : Utilisez ces deux informations pour associer à chaque parabole son équation en déplaçant les attaches des étiquettes.[br][/*][/list][br]Exercice : Utilisez ces deux informations pour associer à chaque parabole son équation en déplaçant les attaches des étiquettes.[br]
Faire glisser les petits ronds sur la bonne parabole.
Tracer ci-dessous à main levée avec l'outil croquis [icon]/images/ggb/toolbar/mode_freehandshape.png[/icon] une parabole d'équation y=ax²+bx+c avec :[br][b]a>0 et c<0[/b]
Tracer ci-dessous à main levée avec l'outil croquis [icon]/images/ggb/toolbar/mode_freehandshape.png[/icon] une parabole d'équation y=ax²+bx+c avec :[br][b]a<0 et c=0[/b]
Modélisation. (1/3)
Présentation
Dans cette activité, nous allons illustrer l'utilité des polynômes du second degré à travers un exemple de sport : le lancer de poids.[br]Pour étudier la trajectoire du poids, on se placera dans un repère orthonormé figuré sur la figure ci-dessus et ci-dessous, l'unité correspond à un mètre.[br]Nous pouvons conjecturer que la trajectoire du poids est une portion de parabole et donc chercher à modéliser la trajectoire par la courbe d'une fonction [math]f[/math] polynôme du second degré où la variable [math]x[/math] représente la distance horizontale parcourue par le poids et [math]f(x)[/math][math][/math] la hauteur du poids correspondant.
Partie 1 : Conjecture et expression de la courbe de la trajectoire
[br]
On suppose donc que l'allure de la trajectoire a pour équation [math]y=f(x)[/math] où [math]f[/math] est la fonction définie sur [math]\mathbb{R}[/math] par : [math]f\left(x\right)=ax^2+bx+c[/math] et [i]a[/i], [i]b[/i], [i]c[/i] sont trois réels à déterminer. [br]En faisant varier les curseurs [i]a[/i], [i]b[/i], [i]c[/i], cherchez à obtenir une courbe pour [math]f[/math] qui passe au mieux par les points roses.
Indication
Par lecture graphique, combien vaut [math]f\left(0\right)[/math] ? [br]Quelle valeur des paramètres a, b, ou c peut-on en déduire ?
Déterminez a, b, c et pensez à VALIDER quand vous avez fini.
Par lecture graphique, à quelle distance du sportif le poids a-t-il atterri ?
Quelle équation faudrait-il résoudre pour répondre à cette question par le calcul ?
Calcul formel.
L'appliquette ci-dessous va vous permettre de faire du calcul formel pour déterminer les racines, le maximum et la forme canonique de f.[br]Commencez par entrer votre expression de [math]f[/math] en tapant [code]f(x)=[/code]...[br]Info: [math]x^2[/math] se note x^2.
Racines
Utilisez la fonction GeoGebra [code]Résoudre(<équation>) [/code]dans le volet calcul formel à gauche pour déterminer à quelle distance du sportif le poids a atterri.
Maximum
Utilisez ci-dessus la fonction [code]Max[/code] pour déterminer la hauteur maximale atteinte par le poids.[br][code]Max( <Fonction>, <x initial>, <x final> )[/code]
Forme canonique
Utilsez la fenêtre de calcul formel ci-dessus pour obtenir la forme canonique de [math]f[/math].[br][code]FormeCanonique( f )[br][/code][code][/code]
A la main
Sur le tableau blanc ci dessous, écrire avec l'outil stylo [icon]/images/ggb/toolbar/mode_pen.png[/icon] les formules du cours pour le discriminant [math]\Delta[/math] et pour les racines de l'équation [math]ax^2+bx+c=0[/math] lorsque le discriminant est positif.
Application
Sur le tableau blanc ci dessous, écrire avec l'outil stylo [icon]/images/ggb/toolbar/mode_pen.png[/icon] les étapes de résolution de l'équation:[br] [math]-0,2x^2+1,4x+2,7=0[/math][br]On attend le calcul de [math]\Delta[/math] et des racines.
Distance du lancer.
Par le calcul des racines avec cette expression, à quelle distance le sportif a-t-il lancer son poids ? Expliquez votre choix.
Avec la forme canonique
Utilisez l'appliquette ci dessous pour tracer la courbe de f à partir de sa forme canonique.
Déterminez a, α et β, puis pensez à VALIDER quand vous avez fini.
Rappels sur la forme canonique.
Rappeler sur ce croquis où on lit les valeurs de [math]\alpha[/math]et [math]\beta[/math] lorsque la forme canonique est [math]a(x-\alpha)^2+\beta[/math]. Ecrire aussi à combien valent [math]\alpha[/math] et [math]\beta[/math] (environ).
Schéma à compléter.
Que représente le couple [math](\alpha,\beta)[/math] pour la parabole ?
Bilan
Quelle forme vous a semblé être la plus simple pour ajuster une parabole passant par le nuage de points roses?
Tableau de signe d'une fonction ; Résolution graphique d'inéquation
Nous allons résumer dans un tableau le signe de la fonction [math]f[/math].[br][br]Pour cela, nous placerons le signe + sur les intervalles où la fonction [math]f[/math] est positive, autrement dit où [math]f\left(x\right)\ge0[/math] pour toute valeur [math]x[/math] de l'intervalle, et nous placerons un signe - sur les intervalles où fonction [math]f[/math] est négative, autrement où [math]f\left(x\right)\le0[/math] pour toute valeur [math]x[/math] de l'intervalle.[br][br]Nous appellerons ce tableau le [u]tableau de signe[/u] de la fonction.[br][br]Dans l'exemple suivant, suivez l'évolution de la construction du tableau de signe de la fonction [math]f[/math] définie sur [-3;5] en déplaçant le curseur :
[b][u]Application n°1 :[/u][/b][br]Compléter le tableau de signe de la fonction [math]f[/math].
[b][u]Application n°2 :[/u][/b] Résolution graphique d'une inéquation
Tableau de variation d'une fonction
Afin de résumer l'ensemble des variations d'une fonction, nous allons construire un tableau dans lequel nous allons placer des flèches vers le haut (de la gauche vers le droite et du bas vers le haut) sur les intervalles où la fonction est croissante et des flèches vers le bas (de la gauche vers le droite et du haut vers le bas) sur les intervalles où la fonction est décroissante.[br][br]Nous appellerons ce tableau le [u]tableau de variation[/u] de la fonction.[br][br]Dans l'exemple suivant, suivez l'évolution de la construction du tableau de variations de la fonction [math]f[/math] définie sur [-1;6] en déplaçant le curseur :[br]
Sur ce tableau on voit que la fonction est croissante sur :
[b][u]Application n°1:[/u][/b][br]Observer l'évolution du tableau de variations en fonction de l'allure de la courbe en déplaçant les 5 points repérés sur la courbe.[br][list][*]Faire en sorte que la fonction soit croissante sur [-5;5] puis décroissante sur [5;15] avec un maximum de 8 et un minimum de -2.[/*][/list]
[b][u]Application n°2 :[/u][/b][br]On considère la fonction [math]f[/math] définie sur [-3;6] et représentée dans un repère par la courbe Cf suivante :
On a construit partiellement le tableau de variation de [math]f[/math] :
Dans le tableau de variation, quelle est la valeur de [math]a[/math] ?
Dans le tableau de variation, quelle est la valeur de [math]b[/math] ?
[b][u]Application n°3 :[/u][/b][br]On s'intéresse à présent à une la fonction [math]g[/math] définie sur [-2;5] et dont le tableau de variations est le suivant :
Tracer dans le repère à l'aide de l'outil croquis [icon]/images/ggb/toolbar/mode_freehandshape.png[/icon] une courbe cohérente avec le tableau de variation de [math]f[/math] après avoir placé les quatre points imposés par lesquels passe la courbe.
[b][u]Application n°3 :[/u][/b][br]On considère à présent la fonction [math]h[/math] définie sur [ ; ] et représentée graphiquement par [math]C_h[/math] dans le repère suivant :
Construire le tableau de variations de [math]h[/math] à l'aide des différents éléments disponibles par glisser / déposer (tous ne sont pas nécessaires).