[justify]Отметим какие-нибудь три точки, не лежащие на одной прямой, и соединим их отрезками (см. рис.). Получим геометрическую фигуру, которая называется [b]треугольником[/b]. Отмеченные три точки называются [b]вершинами[/b], а отрезки — [b]сторонами[/b] треугольника. На рисунке изображен треугольник с вершинами [math]А,В,С[/math] и сторонами [math]АВ,ВС[/math] и [math]CD[/math]. Такой треугольник будем обозначать так: [math]\DeltaАВС[/math] (читается: «треугольник АВС»). Этот же треугольник можно обозначить иначе, записав буквы А, В, С в другом порядке: [math]\DeltaВСА[/math], [math]\DeltaСВА[/math] и т. д.[/justify]

[justify][/justify][justify]Три угла— [math]\angleВАС[/math], [math]\angleСВА[/math] и [math]\angle ACB[/math] — называются [b]углами треугольника[/b] АВС. Часто их обозначают одной буквой: [math]\angle A[/math], [math]\angle B[/math], [math]\angle C[/math].[br][br]Сумма длин трех сторон треугольника называется его [b]периметром[/b].[br][br]Напомним, что две фигуры, в частности два треугольника, называются равными, если их можно совместить наложением. На рисунке изображены равные треугольники [math]\DeltaАВС[/math] и [math]\DeltaА_1В_1С_1[/math].[br][br]Каждый из этих треугольников можно наложить на другой так, что они полностью совместятся, т.е. попарно совместятся их вершины и стороны. Ясно, что при этом совместятся попарно и углы этих треугольников.[/justify]

[justify]Таким образом, [b]если два треугольника равны, то элементы (т.е. стороны и углы) одного треугольника соответственно равны элементам другого треугольника.[/b][br][br]Отметим, что [b]в равных треугольниках против соответственно равных сторон[/b] (т.е. совмещающихся при наложении) [b]лежат равные углы, и обратно: против соответственно равных углов лежат равные стороны[/b]. Так, например, в равных треугольниках [math]АВС[/math] и [math]А[br]_1В_1С_{[br]1}[/math], изображенных на предыдущем рисунке, против соответственно равных сторон [math]АВ[/math] и [math]А_1В_1[/math] лежат равные углы [math]С[/math] и [math]С_1[/math].[br][br]Равенство треугольников [math]АВС[/math] и [math]А_1В_1С_1[/math] обозначается так: [math]\DeltaАВС=\DeltaА_1В_1С_1[/math]. Оказывается, что равенство двух треугольников можно установить, не накладывая один треугольник на другой, а сравнивая только некоторые их элементы. Как это сделать, мы обсудим в следующих[br]пунктах.[br][br]Такая возможность — установить равенство двух фигур, не производя наложения одной на другую, а измеряя и сравнивая лишь некоторые элементы этих фигур, важна для практики, например для сравнения двух земельных участков, которые, конечно, нельзя наложить друг на друга.[/justify]

[justify]В математике каждое утверждение, справедливость которого устанавливается путем рассуждений, называется [b]теоремой[/b], а сами рассуждения называются [b]доказательством теоремы[/b]. Фактически мы уже имели дело с теоремами и их доказательствами. Так, утверждение о равенстве вертикальных углов является теоремой, а рассуждения, которые мы провели, чтобы установить равенство вертикальных углов, и есть доказательство этой теоремы. В этом параграфе мы докажем одну из теорем о равенстве треугольников.[/justify]

[justify][b][/b][/justify][justify][b]Теорема[/b][br][/justify][quote][justify]Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.[/justify][/quote][url=https://www.geogebra.org/worksheet/edit/id/p7aupzsa]Доказательство[/url]

[justify]Данная теорема выражает [b]признак[/b] (равенство у треугольников двух сторон и угла между ними), по которому можно сделать вывод о равенстве треугольников. Он называется [b]первым признаком равенства треугольников[/b].[/justify]

[justify][url=https://www.geogebra.org/worksheet/new][/url][/justify][justify][url=https://www.geogebra.org/worksheet/new]87[/url]. Начертите треугольник и обозначьте его вершины буквами [math]M[/math], [math]N[/math] и [math]P[/math]. [br] а) Назовите все углы и стороны треугольника; [br] б) с помощью масштабной линейки измерьте стороны и найдите периметр треугольника.[br][br]88. Начертите треугольник [math]DEF[/math] так, чтобы угол [math]E[/math] был прямым. Назовите: [br] а) стороны, лежащие против углов [math]D[/math], [math]E[/math], [math]F[/math]; [br] 6) углы, лежащие против сторон [math]DE[/math], [math]EF[/math], [math]FD[/math]; [br] в) углы, прилежащие к сторонам [math]DE[/math], [math]EF[/math], [math]FD[/math];[br][br]89. С помощью транспортира и масштабной линейки начертите треугольник [math]ABC[/math], в котором:[br] а) [math]AB=4,3[/math] см, [math]AC=2,3[/math] см, [math]\angle A=23^\circ[/math]; [br] б) [math]BC=9[/math] см, [math]BA=6,2[/math] см, [math]\angle B=122^\circ[/math]; [br] в) [math]CA=3[/math] см, [math]CB=4[/math] см, [math]\angle C=90^\circ[/math].[/justify]

[justify][/justify][justify]90. Сторона [math]AB[/math] треугольника [math]ABC[/math] равна 17 см, сторона [math]AC[/math] вдвое больше стороны [math]AB[/math], а сторона [math]BC[/math] на 10 см меньше стороны [math]AC[/math]. Найдите периметр треугольника [math]ABC[/math].[br][br]91. Периметр треугольника равен 48 см, а одна из сторон равна 18 см. Найдите две другие стороны, если их разность равна 4,6 см.[br][br]92. Периметр одного треугольника больше периметра другого. Могут ли быть равными эти треугольники?[br][br]93. Отрезки [math]AE[/math] и [math]DC[/math] пересекаются в точке [math]B[/math], являющейся серединой каждого из них. [br] а) Докажите, что треугольники [math]ABC[/math] и [math]EDB[/math] равны; [br] б) найдите углы [math]A[/math] и [math]C[/math] треугольника [math]ABC[/math], если в треугольнике [math]BDE[/math] [math]\angle D=47^\circ[/math], [math]\angle E=42^\circ[/math].[br][br][url=https://www.geogebra.org/m/ba6kyrpd]94[/url]. На рисунке [math]AB=AC[/math], [math]\angle1=\angle2[/math]. [br] а) Докажите, что треугольники [math]ABD[/math] и [math]ACD[/math] равны; [br] б) найдите [math]BD[/math] и [math]AB[/math], если [math]AC=15[/math] см, [math]DC=5[/math] см.[br][/justify]

95. На рисунке [math]BC=AD[/math], [math]\angle1=\angle2[/math]. [br] а) Докажите, что треугольники [math]ABC[/math] и [math]CDA[/math] равны; [br] б) найдите [math]AB[/math] и [math]BC[/math], если [math]AD=17[/math] см, [math]DC=14[/math] см.[br]

96. На рисунке [math]OA=OD[/math], [math]OB=OC[/math], [math]\angle1=74^\circ[/math], [math]\angle2=36^\circ[/math].[br] а) Докажите, что треугольники [math]AOB[/math] и [math]DOC[/math] равны;[br] б) найдите [math]\angle ACD[/math].

[justify]97. Отрезки [math]AC[/math] и [math]BD[/math] точкой пересечения делятся пополам. Докажите, что [math]\Delta ABC=\Delta CDA[/math].[br][br]98. В треугольниках [math]ABC[/math] и [math]A_1B_1C_1[/math] [math]AB=A_1B_1[/math], [math]AC=A_1C_1[/math], [math]\angle A=\angle A_1[/math]. На сторонах [math]AB[/math] и [math]A_1B_1[/math] отмечены точки [math]P[/math] и [math]P_1[/math], так, что [math]AP=A_1P_1[/math]. Докажите, что [math]\Delta BPC=\Delta B_1P_1C_1[/math].[br][br]99. На сторонах угла [math]CAD[/math] отмечены точки [math]B[/math] и [math]E[/math] так, что точка [math]B[/math] лежит на отрезке [math]AC[/math], а точка [math]E[/math] — на отрезке [math]AD[/math], причем [math]AC=AD[/math] и [math]AD=AE[/math]. Докажите, что [math]\angle CBD=\angle DEC[/math].[/justify]