Un’equazione di [b]secondo grado[/b] è in forma [b]completa[/b] se, nella sua [b]forma normale[/b], sono presenti tutti i termini dal secondo grado in giù, ovvero:[br][center][math]\Large\bf ax^2+bx+c=0[/math][/center]

Le soluzioni dell'equazione di secondo grado completa si ricavano applicando la seguente formula risolutiva:[center][math]\large\bf x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}[/math][/center]

Data l'equazione di secondo grado[br][center][math]\large\bf ax^2+bx+c=0[/math][/center] si procede nel modo seguente:[br][list=1][*]Si dividono entrambi i membri per a, ovvero:[br][math]ax^2+bx+c=0\ \longrightarrow\ x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0[/math][br][/*][*]Si effettua il [b]completamento del trinomio quadrato di binomio[/b] dei primi due termini sommando e sottraendo un opportuno termine quadratico, ovvero:[br][math]x^2+\frac{b}{a}x+\frac{b^2}{4a^2}-\frac{b^2}{4a^2}+\frac{c}{a}=0\ \longrightarrow\ \left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2}{4a^2}+\frac{c}{a}=0\ [/math][br][/*][*]Si portano a secondo membro i termini fuori dal quadrato di binomio e si svolge il m.c.d, ovvero:[br][math]\ \left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2}{4a^2}+\frac{c}{a}=0\ \longrightarrow\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=\frac{b^2}{4a^2}-\frac{c}{a}\ \longrightarrow\large\bf \left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}[/math][br][/*][*]Si toglie risolve l'espressione ottenuta togliendo il quadrato e mettendo a radice il secondo membro, portando fuori il denominatore, ovvero:[br][math] \left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}\longrightarrow\ x+\frac{b}{2a}=\pm\sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}}\longrightarrow\ x+\frac{b}{2a}=\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}[/math][br][/*][*]Si isola la x portando a secondo membro il termine rimanente e sommandolo con l'espressione presente, ovvero: [br][math] \ x+\frac{b}{2a}=\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\ \longrightarrow\ x=-\frac{b}{2a}\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\large\bf\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}[/math][br][/*][/list]

L'espressione sotto radice nella formula risolutiva è detta [b]discriminate[/b], ovvero[br][center][math]\Large \Delta=b^2-4ac[/math][/center]

I casi sono tre:[br][list][*]Se [math]\large \Delta>0[/math] l'equazione ammette [b]due soluzioni reali distinte[/b].[/*][*]Se [math]\large \Delta=0[/math] l'equazione ammette [b]due soluzioni reali coincidenti[/b].[/*][*]Se [math]\large \Delta<0[/math] l'equazione è [b]impossibile[/b] nei reali, ovvero ammette [b]due soluzioni complesse coniugate[/b].[/*][/list]