[img]https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/29/James_Joseph_Sylvester.jpg[/img]

El corazón del álgebra lineal está en dos operaciones, ambas con vectores. Sumamos vectores para obtener [math]\large \vec{v} + \vec{w}[/math]. Los multiplicamos por los números c y d para obtener [math]\large \vec{cv}[/math] y [math]\large \vec{dw}[/math]. Combinando estas dos operaciones (sumar [math]\large \vec{cv}[/math] a [math]\large \vec{dw}[/math]) da la [b]combinación lineal[/b] [math]\large \vec{cv + dw}[/math]:[br][br][math]\LARGE \text{Combinacion lineal}\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: c\vec{v}+d\vec{w}= c\begin{pmatrix}[br]1 \\ 1[br][br]\end{pmatrix}+d\begin{pmatrix}[br]2\\ 3[br][br]\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}[br]c+2d\\ [br]c+3d[br]\end{pmatrix}[/math][br][br][code][/code]

[justify][/justify]Las combinaciones lineales son muy importantes. A veces queremos una combinación particular, la opción específica [math]\large c = 2 , d = 1[/math] que produce [math]\large c\vec{v} + d\vec{w} = \begin{pmatrix}[br]4\\ [br]5[br]\end{pmatrix}[/math]. Otras veces queremos todas las combinaciones de [math]\large \vec{v}[/math] y [math]\large \vec{w}[/math] (provenientes de todos los valores posibles de c y d ).Los vectores [math]\large \vec{cv}[/math] se encuentran a lo largo de una línea. Cuando [math]\large \vec{w}[/math] no está en esa línea, las combinaciones [math]\large \vec{cv}+ \vec{dw}[/math] cubren todo el plano bidimensional. Los vectores y sus combinaciones podrían estar en un plano o en una línea. Luego nos movemos hacia dimensiones superiores. La característica realmente impresionante del álgebra lineal es cómo suavemente se da ese paso hacia el espacio n-dimensional. La imagen mental se completamente correcta, incluso si dibujar un vector de diez dimensiones es imposible.