As relações entre variáveis muitas vezes são melhor entendidas através da visualização de um [i]gráfico[/i]. Existem vários tipos de gráficos, mas vamos nos concentrar nos [i]gráficos de funções[/i]. Tudo começa com uma ideia revolucionária: a ideia de [i]sistema de coordenadas cartesiano[/i], que leva esse nome justamente por causa de seu inventor, René Descartes. Dadas duas retas perpendiculares, chamadas de [i]eixos[/i], que se encontram em um ponto [i]O, [/i]chamado [i]origem do sistema de coordenadas, [/i]e fixada uma unidade de medida, temos uma maneira bem definida de associar um par de números [math]\left(x,y\right)[/math]a cada ponto do plano determinado pelos eixos, conhecido como [i]plano cartesiano, [/i]e vice-versa, cada par de números determina um único ponto. Mova o ponto [math]A[/math] na figura interativa abaixo para ver o que acontece.

A correspondência entre pontos do plano e pares de números é obtida da seguinte maneira: traçamos uma reta [math]r[/math] paralela ao eixo vertical (o [i]eixo das ordenadas[/i]) passando pelo ponto [math]A[/math]. Essa reta intersecta o eixo horizontal (o [i]eixo das abscissas[/i]) em um único ponto, que por sua vez corresponde a um número real [math]x_A[/math] específico, já que fixamos a unidade de medida. Este número é chamado de [i]abscissa do ponto[/i] A. Analogamente, podemos traçar uma reta [math]s[/math] paralela ao eixo horizontal que passa por A, que intersecta o eixo vertical em um ponto que corresponde a um número real [math]y_A[/math] conhecido como[i] ordenada de[/i] A. Assim, construímos um par de números [math]\left(x_A,y_A\right)[/math] para cada ponto [math]A[/math] do plano. Invertendo o processo, é fácil ver que para cada par ordenado de números podemos obter um único ponto do plano.

Mas o grande salto de Descartes foi mostrar como podemos usar a ideia de plano cartesiano para interpretar [i]equações como curvas[/i] ou, inversamente, [i]curvas como equações: [/i]se podemos associar pontos a pares de números e vice-versa, dada uma equação [math]f\left(x,y\right)=0[/math] nas variáveis [math]x[/math] e [math]y[/math] [i]podemos formar o conjunto dos pontos do plano que correspondem aos pares [/i][math]\left(x,y\right)[/math][i] de números que satisfazem a equação[/i]. Assim, podemos transformar um objeto algébrico (uma equação) em um objeto geométrico (uma curva formada pela totalidade dos pontos). É possível também fazer o contrário, pegar um curva definida por alguma condição geométrica e tentar encontrar uma equação que é satisfeita por todos os pontos da curva (em um sistema de coordenadas apropriado). Por exemplo, considere a equação[br][center][math][br]y^2=x(x^2-1)[br][/math][/center][br]Podemos verificar diretamente que os pontos [math](0,0)[/math], [math](1,0)[/math] e [math](-1,0)[/math] satisfazem a equação. Fazendo [math]x=2[/math], vemos também que [math](2,\pm\sqrt{6})[/math] também são soluções. Em geral, sempre que [math]x(x^2-1)>0[/math] teremos duas soluções para [math]y[/math], [math]y=\pm\sqrt{x(x^2-1)}[/math]. Não é fácil entender como todos os pontos que correspondem a essas soluções estão distribuídos no plano. Mas usando uma calculadora gráfica como o GeoGebra, chegamos à seguinte gráfico:

Muitas equações dão origem à curvas bonitas:

Nas figuras acima, pode acontecer de uma reta vertical intersectar o gráfico da equação em mais de um ponto. Mas se a dependência entre as variáveis é [i]funcional[/i], ou seja, se para cada [math]x[/math] em um certo domínio podemos associar um único [math]y=f\left(x\right)[/math], o gráfico tem a [i]propriedade que toda reta vertical intersecta o gráfico em no máximo um ponto[/i]. Vejamos alguns exemplos:

O jeito mais simples de desenhar o gráfico de uma função [math]y=f\left(x\right)[/math] é calcular o valor de [math]f\left(x_i\right)[/math] para muitos números [math]x_i[/math] no domínio da função e depois ligar os pontos [math]\left(x_i,f\left(x_i\right)\right)[/math] assim gerados por segmentos de retas. Se o número de pontos for suficientemente grande, teremos a impressão de uma curva suave.[br]