У 1765 році німецький[br]математик Ейлер довів, що в будь-якому трикутнику ортоцентр, центр ваги і центр[br]описаного кола лежать на одній прямій, яка пізніше була названа прямою Ейлера.[br]т. J – перетин висот;[br]т. I – перетин медіан,[br]центр ваги трикутника;[br]т. D – перетин[br]серединних перпендикулярів, центр описаного кола.[br]

[br][br][b][i]Навчальне дослідження 1[/i][/b][b].[/b][br]Побудуйте пряму Ейлера та дістаньтеся висновків, що в прямокутному трикутнику[br]пряма Ейлера збігається з проведеною до гіпотенузи медіаною; в рівносторонньому[br]трикутнику пряма Ейлера вироджується в точку.[br][br][br]

[br]У двадцятих роках XIX століття французькі[br]математики Понселе, Бріаншон та інші встановили незалежно один від одного таку[br]теорему: основи медіан, основи  висот і середини відрізків висот, що[br]з'єднують Ортоцентр з вершинами трикутника, лежать на одному й тому ж колі. Це[br]ж коло називають колом Ейлера або колом дев'яти точок [7].[br]

Для довільного[br]трикутника основи перпендикулярів, опущених з будь-якої точки описаного навколо[br]нього кола на його сторони або їх продовження, лежать на одній прямій, яка[br]називається прямою Сімсона [8].[br][br][br]

[br][b][i]Навчальне дослідження 1[/i][/b][b].[/b][br]У властивостях побудованої прямої Сімсона встановіть прапорець «Залишати слід»[br]і анімуйте точку на колі. Спостерігайте за результатами і переконайтесь, що в[br]обрисах фігури, сформованої слідом прямої Сімсона в результаті анімації, можна[br]впізнати гіперболічний трикутник. Незалежно від виду та форми вихідного трикутника,[br]гіперболічний трикутник завжди буде рівностороннім. Його розмір визначається[br]радіусом описаного навколо вихідного трикутника[br]кола. Докладніше про гіперболічний трикутник див. у розділі 8.[br]

Трикутник, вершинами[br]якого є основи перпендикулярів, опущених із точки на прямі, які містять сторони[br]вихідного трикутника, називається педальним. Точка, з якої опущені[br]перпендикуляри, також називається педальною [10].[br]