SII - Integralrechnung
Table of Contents
- Integralrechnung - Einführung
- Vorstellungsübung zum Einstieg
- Vernetzungsaufgabe
- Kopie von Zu- und Abflussrate
- Flächeninhalte von krummrandig begrenzten Flächen
- Applet 1
- Einstieg Integralrechung Austromath Lernpfad
- Übungsphase
- Integralrechnung - Herleitung
- Integrator I (Untersumme, Obersumme, Integral)
- Kopie von Ober- und Untersumme
- Unter- und Obersumme
- Riemannsumme 1
- Integrator IIIb (Hauptsatz HDI)
- Übung
- Stammfunktionen elementarer Funktionen
- Flächeninhalte
- Integral und Flächeninhalt
- Unterschied bestimmtes Integral und Flächeninhalt
- Kopie von Flächeninhalt zwischen Graph und x-Achse
- Fläche zwischen zwei Graphen
- Fläche zwischen zwei Funktionsgraphen
- Parameter
- Integral u. Flaecheninhalt mit Parameter
- Integralfunktion
- Integrator IIIa (Integralfunktion, Integraph)
- Weiterführung
- Mittelwertsatz der Integralrechnung
- Rotationskörper
- Integrator Va (Rotationsvolumen, Rotation um die x-Achse)
Vorstellungsübung zum Einstieg
Vorstellungsuebung_zum_Einstieg_in_die_Integralrechnung
Integrator I (Untersumme, Obersumme, Integral)
a) Lassen Sie zur Funktion f auf [a, b] die n-te Obersumme und die n-te Untersumme berechnen.[br] Erhöhen Sie n am Schieberegler. Was stellen Sie für zunehmendes n fest? [br]b) Berechnen Sie auch die n-te Trapezsumme. Was stellen Sie für zunehmendes n fest?
Untersumme/ Obersumme, Linkssumme/ Rechtssumme, Trapezsumme, Integral
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Stammfunktionen elementarer Funktionen
Im unteren Grafikfenster wird eine Funktion vorgegeben, deren Stammfunktion zu bestimmen ist.[br][br][b]Aufgabe[/b][br]Gib in das Eingabefeld den Funktionsterm einer Stammfunktion (abgesehen von einer Konstanten c) ein.[br]Falls deine Antwort nicht korrekt ist, kannst du die richtige Lösung anzeigen lassen.[br]Übe an einigen weiteren Funktionen des Berechnung der Stammfunktion.[br][br][i]Hinweis: Gib die Exponentialfunktion zur Basis e am besten mit exp(x) ein.[/i]
Integral und Flächeninhalt
Der Wert des Integrals ist eine reelle Zahl, die auch null oder negativ sein kann.[br]Der dargestellte Flächeninhalt hingegen wird als Summe der Beträge der entsprechenden Integrale berechnet.[br][br][b]Aufgabe[/b][br]Verschiebe die Integralgrenzen a und b und beobachte den Wert des Integrals und den Flächeninhalt.
Analoges gilt für den Inhalt einer Flächen, die von zwei Funktionsgraphen begrenzt wird.[br][br][b]Aufgabe[/b][br]Verschiebe einen der beiden Graphen, bis das Integral ungefähr den Wert 0 ergibt.
Integral u. Flaecheninhalt mit Parameter
Integral u. Flaecheninhalt mit Parameter
Integrator IIIa (Integralfunktion, Integraph)
Bei Ziehen an S auf dem Graphen von f wird das Integral von f auf [a, x] angezeigt und berechnet.[br]Flächen im positiven Bereich sind blau markiert, Flächen im negativen Bereich rot.[br][br]a) Ziehen Sie an S und beobachten sie die Entwicklung des Integrals.[br]b) Aktivieren sie die Kontrollkästchen Integral von f und Integralfunktion.[br] Was stellen Sie für I[sub]a[/sub] und den Verlauf von I(x) fest, wenn Sie an S ziehen?[br]c) Beschreiben Sie das Verhalten der Integralfunktion I(x) in Abhängigkeit von f(x).[br]d) Untersuchen Sie dies auch für andere Funktionen.
Integralfunktion
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Mittelwertsatz der Integralrechnung
[b]Satz[/b][br]Sei f eine stetige Funktion in [a; b]. Dann gibt es mindestens eine Stelle ξ in [a; b] mit [br][math]\int_{a}^{b}{f(x) dx} = f(\xi) \cdot (b-a)[/math][br][br][b]Geometrische Interpretation[/b][br]Es gibt mindestens ein ξ aus [a; b] , sodass der Flächeninhalt des Rechtecks gleich ist dem Flächeninhalt unter der Kurve von a bis b. [br]Die Stelle ξ ist im allgemeinen nicht der Mittelwert von a und b. [br][br][b]Aufgabe[/b][br]Verändere die Integrationsgrenzen und beobachte die Auswirkungen.
Mittelwertsatz der Integralrechnung
Andreas Lindner
Integrator Va (Rotationsvolumen, Rotation um die x-Achse)
Es soll das Volumen des Rotationskörpers mit der Randfunktion f(x) ermittelt werden.[br]a) Lassen Sie über die Kontrollkästchen die Annäherung 'von links' und 'von rechts' anzeigen.[br] Verändern Sie die Perspektive im 3D-Fenster so, dass man alles gut erkennen kann.[br]b) Wie kommt man von den Rechtecken im 2D-Fenster zur 3D-Ansicht?[br] Erläutern Sie das Verfahren als Verallgemeinerung des Vorgehens im zweidimensionalen Fall.[br]c) Erhöhen Sie n am Schieberegler (das dauert für große n etwas), bis die Oberfläche 'glatt' aussieht. [br] Was stellen Sie für Linksvolumen und Rechtsvolumen fest?[br] Die Oberfläche des Rotationskörpers können Sie auch mit dem Kontrollkästchen anzeigen lassen.
Rotationsvolumen bei Rotation um die x-Achse
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