[size=85]Tekintsük a következő rekurziót![br][math]a_{n+1}=\frac{1}{a_n}+1[/math][br]1. Milyen valós [math]a_1[/math]-re ad ez a rekurzió (végtelen) sorozatot?[br]2. Milyen valós [math]a_1[/math]-re lesz a rekurzió által megadott sorozat[br]a) monoton;[br]b) korlátos;[br]c) konvergens?[br]d) Ha konvergens a sorozat, akkor mi a határértéke?[br][/size]

[size=85]Úgy tűnik, hogy az [math]\frac{1}{x}+1=x[/math][/size] [size=85]egyenlet megoldásainak szerepe lehet a problémáb[/size][size=85]an: [math]x_{12}=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}[/math][/size].[br][size=85]Az utóbbi tárgyalásmódot [url=http://www.model.u-szeged.hu/index.php?action=staff&cmd=show_staff&staff_id=1]Dr. Karsai János tanár úr[/url], Matanság klubban tartott előadásából ismerhetjük.[br][/size][size=85]A fentiek alapján eljuthatunk a sejtésekhez:[/size]

[list=1][*][size=85][/size][size=85]Az 1. részállításban szereplő első tagok kivételével a rekurzió (végtelen) sorozatot ad. ("jó" első tag)[br][br][/size][/*][*][br][size=85]a) A sorozat egyik első tag esetén sem monoton.[br]b) A sorozat minden "jó" első tagra korlátos (, hiszen konvergens).[br]c) A sorozat minden "jó" első tagra konvergens.[br]d) Bármely "jó" első tag esetén a sorozat[url=https://hu.wikipedia.org/wiki/Aranymetsz%C3%A9s] határértéke[/url] [math]\frac{1+\sqrt{5}}{2}[/math] ([url=https://hu.wikipedia.org/wiki/Aranymetsz%C3%A9s]aranymetszés[/url]).[/size][/*][/list]

[size=85]Felhívjuk a figyelmet arra, hogy a fenti sejtéseket Tóth Julianna tanárnő bebizonyította, így azok tétellé váltak.[/size]