Se una funzione è continua, gode di una serie di proprietà che apparentemente sembrano banali e sottintese ma che devono essere dimostrate tramite altrettanti teoremi. In questo paragrafo ci limiteremo ad enunciare tali teoremi, interpretarli e vedere alcuni controesempi per cui, mancando la continuità, le proprietà descritte dai teoremi non sono più garantite.[br][br]NOTA: indicheremo in [color=#0000ff]blu le ipotesi dei teoremi, cioè le condizioni necessarie[/color] affinché siano verificare le [color=#ff0000]proprietà descritte dalle tesi, che saranno indicate in rosso[/color].[br][br][size=150][color=#ff0000][b]TEOREMA DELLA PERMANENZA DEL SEGNO[/b][br][color=#38761d][b][size=100]ENUNCIAZIONE A PAROLE:[/size][/b][/color][br][/color][/size][color=#0000ff]Se una funzione è continua nel punto [math]\large{x_0}\[/math][/color], [color=#ff0000]esiste un intorno di [math]\large{x_0}\[/math] in cui i risultati della funzione hanno lo stesso segno di [math]\large{f(x_0)}\[/math][/color].[br][br][color=#38761d][b]ENUNCIAZIONE FORMALE SIMBOLICA[/b][/color]:[br][math]\large{\begin{array}{ll}\mbox{HP: } & 1)\ \lim_{x \to x_0}f(x) = f(x_0)\quad [\mbox{f è continua in }x_0]\\ \quad & 2) \ f(x_0)>0\quad \textcolor{#005500}{(oppure\ f(x_0)<0)} \end{array}}[/math][br][math]\large{TH: \exists I(x_0)\quad |\quad \forall x \in I(x_0)\quad f(x)>0\quad \textcolor{#005500}{(oppure\ f(x_0)<0)}}[/math][br][br][color=#38761d][b]CONSIDERAZIONI E DIMOSTRAZIONE INFORMALE:[/b][/color][br]Se la funzione è continua in [math]\large{x_0}\[/math], significa che i suoi risultati calcolati per punti [i]vicino[/i] ad [math]\large{x_0}\[/math] sono [i]vicini[/i] ad [math]\large{f(x_0)}\[/math], di conseguenza ci si può aspettare che basta considerare valori [math]\large{x}\[/math] sufficientemente prossimi ad [math]\large{x_0}\[/math] per ottenere risultati che hanno lo stesso segno di [math]\large{f(x_0)}\[/math].[br][br][color=#38761d][b]ESEMPI E CONTROESEMPI:[/b][/color][br]Consideriamo la funzione riportata in figura:

Nel [b][color=#38761d]punto A[/color][/b] la funzione è continua: riusciamo a trovare un intorno di [math]\large{x_A}[/math] per cui tutte le [math]\large{x}[/math] al suo interno danno un risultato positivo come [math]\large{f(x_A)}[/math]. Ad esempio se prendiamo una [math]\Large{x}[/math] entro l'intervallo blu, la sua immagine sarà sicuramente positiva.[br][br]Nel [color=#38761d][b]punto B[/b][/color] la funzione presenta una [b]discontinuità di prima specie (del salto)[/b] ed infatti la permanenza del segno non vale: non appena consideriamo una [math]\large{x}[/math] appena superiore di [math]\large{x_B}[/math], cioè alla sua destra, la corrispondente [math]\large{f(x)}[/math] è negativa e quindi non ha lo stesso segno di [math]\large{f(x_A)}[/math].[br][br]Da notare che la continuità è condizione [i]sufficiente[/i], ma [i]non necessaria[/i]: se c'è la continuità la permanenza del segno è [b]garantita[/b] e non c'è bisogno di ulteriori considerazioni; se la funzione non è continua [i]potrebbe comunque[/i] esserci la permanenza, solo che non è garantita: per sapere se c'è o no è necessario studiare meglio la funzione. Nel [color=#38761d][b]punto E[/b][/color] ad esempio la funzione è discontinua, ma la permanenza del segno vale lo stesso. [br][br][size=150][color=#ff0000][b]TEOREMA DEI VALORI INTERMEDI[/b][br][color=#38761d][b][size=100]ENUNCIAZIONE A PAROLE:[/size][/b][/color][br][/color][/size][color=#0000ff]Se una funzione è continua in un intervallo chiuso [math]\large{[x_A,x_B]}\[/math][/color], essa [color=#ff0000]ottiene all'interno dell'intervallo tutti i risultati compresi tra [math]\large{f(x_A)}\[/math] ed [math]\large{f(x_B)}\[/math][/color].[br][br][color=#38761d][b]ENUNCIAZIONE FORMALE SIMBOLICA[/b][/color]:[br][math]\large{\mbox{HP: f è continua } \forall\ x \in\ [x_A,x_B]\quad \rightarrow \quad \forall \bar{x}\in[x_A,x_B]\quad \lim_{x \to \bar{x}}f(x) = f(\bar{x})}[/math][br][math]\large{TH: \forall \overline{y} \in [f(x_A),\ f(x_B)]\quad \exists \overline{x} \in [x_A,\ x_B] \quad |\quad f(\overline{x}) = \overline{y}}[/math][br][br]NOTA: per semplicità nel definire l'intervallo [math]\large{[f(x_A),\ f(x_B)]}[/math] abbiamo supposto [math]\large{f(x_A) < f(x_B)}[/math], ma ovviamente il teorema è simile anche nel caso contrario.[br][br][color=#38761d][b]CONSIDERAZIONI E DIMOSTRAZIONE INFORMALE:[/b][/color][br]Se la funzione è continua in tutti i punti dell'intervallo, significa che mano a mano che mi sposto da in [math]\large{x_A}\[/math] ad [math]\large{x_B}\[/math] i risultati corrispondenti si avvicineranno sempre ai valori effettivamente assunti dalla funzione ([i]continuo a tracciare il grafico senza mai staccare la penna[/i]). Se devo arrivare in questo modo da A a B, ne consegue intuitivamente che devo attraversare intero arco di valori che li separa lungo l'asse y. L'unico modo per saltare qualche valore sulle [math]\large{y}\[/math] è che la funzione abbia qualche forma di discontinuità in almeno un punto.

[size=150][color=#ff0000][b]TEOREMA DEGLI ZERI[/b][/color][br][color=#38761d][b][size=100]ENUNCIAZIONE A PAROLE:[/size][/b][/color][br][/size][color=#0000ff]Se una funzione è continua in un intervallo chiuso [math]\large{[x_A,x_B]}\[/math] e si ha [math]\large{f(x_A)>0 \land \ f(x_B)<0}\[/math] (o viceversa)[/color], [color=#ff0000]esiste all'interno dell'intervallo almeno un punto [math]\large{\overline{x}}\[/math] tale che [math]\large{f(\overline{x})=0}\[/math][/color].[br][br][color=#38761d][b]ENUNCIAZIONE FORMALE SIMBOLICA[/b][/color]:[br][math]\large{\begin{array}{ll}\mbox{HP:} & \mbox{1) f è continua } \forall\ x \in\ [x_A,x_B];\\ \quad & 2) \ f(x_A)\cdot f(x_B)<0\quad (cioè\ f(x_A)\ ed\ f(x_B)\ sono\ discordi) \end{array}}[/math][br][math]\large{TH: \exists \overline{x} \in [x_A,x_B]\quad |\quad f(\overline{x})=0}[/math][br][br][color=#38761d][b]CONSIDERAZIONI E DIMOSTRAZIONE INFORMALE:[/b][/color][br]È una diretta conseguenza del teorema dei valori intermedi. Se [math]\large{f(x_A)}\[/math] è positivo e [math]\large{f(x_B)}\[/math] è negativo (o viceversa), esiste nell'intervallo un punto in cui la funzione assume il valore zero, che è uno dei valori intermedi tra un positivo ed un negativo. [br][br][size=150][color=#ff0000][b]TEOREMA DI WEIERSTRASS[/b][/color][br][color=#38761d][b][size=100]ENUNCIAZIONE A PAROLE:[/size][/b][/color][br][/size][color=#0000ff]Se una funzione è continua in un intervallo chiuso [math]\large{[x_A,x_B]}\[/math][/color], [color=#ff0000] la funzione è LIMITATA all'interno dell'intervallo ed ammette sempre un punto di massimo ed un punto di minimo[/color].[br][br][b]NOTA:[/b] Una funzione si dice [b]limitata superiormente [/b]se esiste un valore [math]\large{y}[/math], qui chiamato [math]\large{M}[/math], tale per cui qualunque output [math]\large{f(x)}[/math] sta "sotto" ad [math]\large{M}[/math], cioè [math]\large{f(x) \lt M\quad \forall x}[/math]. Analogamente si definisce una funzione [b]limitata inferiormente[/b]. Si parla di una funzione che è limitata senza ulteriori specifiche se lo è sia superiormente che inferiormente, quindi se è "confinata" tra un valore minimo ed un valore massimo. [br][br][color=#38761d][b]ENUNCIAZIONE FORMALE SIMBOLICA[/b][/color]:[br][math]\large{\mbox{HP: f è continua } \forall\ x \in\ [x_A,x_B]\quad \rightarrow \quad \forall \bar{x}\in[x_A,x_B]\quad \lim_{x \to \bar{x}}f(x) = f(\bar{x})}[/math][br][math]\large{\begin{array}{ll}\mbox{TH:} & 1)\ \exists m, M\quad |\quad \forall\ \overline{x} \in\ [x_A,x_B]\ f(\overline{x})\gt m \land f(\overline{x}) \lt M\\ \ & 2)\ \exists x_m, x_M \quad | \quad \forall\ \overline{x} \in\ [x_A,x_B]\ f(\overline{x})\gt f(x_m) \land f(\overline{x}) \lt f(x_M) \end{array}}[/math][br][br]Da notare che la seconda tesi (l'esistenza di un punto di minimo e di uno di massimo, è molto più esigente della prima (la limitatezza): la limitatezza afferma semplicemente che i risultati di [math]\large{f(x)}[/math] siano confinati tra due valori; mentre la seconda tesi promette che esisteranno due valori [math]\large{\textcolor{blue}{x_m}\mbox{ e }\textcolor{red}{x_M}}[/math] che [b]permettano alla funzione di generare dei risultati[/b] [math]\large{\textcolor{blue}{f(x_m)}\mbox{ e }\textcolor{red}{f(x_M)}}[/math] che siano rispettivamente il minore ed il maggiore ottenuto dalla funzione. Questi valori estremi non sono più dei numeri qualsiasi ma sono due risultati ottenibili tramite la funzione stessa, e quindi in relazione stretta con essa e le sue caratteristiche.[br][br]Capiremo ancora meglio questa differenza nell'animazione qui sotto.

[size=150][color=#ff0000][b]COMBINARE WEIERSTRASS ED I VALORI INTERMEDI[/b][/color][/size][br]Se combiniamo i due teoremi di Weierstrass e dei valori intermedi, otteniamo che [br][br][color=#38761d][b][size=100]ENUNCIAZIONE A PAROLE:[/size][/b][/color][br][color=#0000ff]Se una funzione è continua in un intervallo chiuso [math]\large{[x_A,x_B]}\[/math][/color], [color=#ff0000] preso un qualsiasi valore compreso tra l'output minimo [math]\large{f(x_m)}\[/math] e quello massimo [math]\large{f(x_M)}\[/math] generati all'interno nell'intervallo stesso, esiste un [math]\large{\bar{x}}\[/math] nell'intervallo che ha come output [math]\large{f(\bar{x})}\[/math] proprio quel valore.[/color].[br][br]In poche parole [b]una funzione continua genera tutti i risultati compresi tra il suo output minimo e quello massimo[/b].[br][br]Infatti [br]1) il teorema di Weierstrass ci garantisce l'esistenza dei punti di minimo e di massimo[br]2) a questo punto è sufficiente considerare l'intervallo definito dai due valori [math]\large{x_m}[/math] ed [math]\large{x_M}[/math]; esso è contenuto nel precedente, quindi la funzione è continua e posso applicargli il teorema dei valori intermedi.[br][br]Lo vediamo nell'animazione qui sotto.