Seja [math]F:Dom\left(F\right)\subseteq\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^m[/math] uma função vetorial de várias variáveis, [math]X_0\in Dom\left(F\right)[/math] e seja [math]\vec{u}[/math] um vetor unitário em [math]\mathbb{R}^n[/math]. A derivada direcional de [math]F[/math] no ponto [math]X_0[/math] na direção do vetor [math]\vec{u}[/math], denotada por [math]\frac{\partial F}{\partial\vec{u}}[/math], é a função vetorial definida por [br][br] [math]\frac{\partial F}{\partial\vec{u}}\left(X_0\right)=\lim_{t\rightarrow0}\frac{F\left(X_0+t\vec{u}\right)-F\left(X_0\right)}{t}[/math].[br][br]O domínio de [math]\frac{\partial F}{\partial\vec{u}}[/math] é o subconjunto de [math]Dom\left(F\right)[/math] para o qual o limite acima existe.

Da mesma forma que, para funções reais de várias variáveis diferenciáveis, existe um conexão entre derivada direcional e vetor gradiente, no caso de funções vetoriais de várias variáveis, existe um conexão entre derivada direcional e a matriz jacobiana. Confira o teorema a seguir.

[b]Teorema:[br][/b][br]Se [math]F:Dom\left(F\right)\subseteq\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^m[/math] é uma função diferenciável em [math]X_0\in A\left(aberto\right)\subseteq Dom\left(F\right)[/math], então[br][br] [math]\frac{\partial F}{\vec{\partial}u}\left(X_0\right)=DF\left(X_0\right).\vec{u},[/math][br][br]para todo vetor unitário [math]\vec{u}[/math] em [math]\mathbb{R}^n[/math], onde [math]\left(.\right)[/math] é o produto matricial e [math]DF\left(X_0\right)[/math] é a matriz jacobiana de [math]F[/math] no ponto [math]X_0[/math].

No applet abaixo é possível definir uma função, um ponto (onde a função é diferenciável) e observar os vetores gerados pela derivada direcional a partir de diferentes vetores unitários. Divirta-se.