[size=85]Nagyon gyakran előfordul a matematikában[/size], [size=85]hogy egy megoldott probléma új problémát szül. Ez következik most is. A [url=https://www.geogebra.org/m/jvygdesq]https://www.geogebra.org/m/jvygdesq[/url] anyag alapján született a következő:[br][br][/size][size=85]Egy adott [i]k[/i] körben [/size][size=85]az [i]AB [/i]és [i]CD[/i] húrok fölé emelt félkörök érintik egymást. Milyen határok között változhat e kér félkör területösszegének és a [i]k[/i] területének aránya?[/size]

[size=85]Ha a fenti problémát tárgyalni akarjuk, akkor meg kell birkóznunk azzal, hogy megszerkesszük az adott félkörhöz a keresett érintő félkört. [br]Mint már annyiszor, ha nehéz szerkesztési probléma adódott, akkor azt [url=https://www.geogebra.org/u/szilassi]Dr. Szilassi Lajos tanár úr[/url] oldotta meg. Így történt ez ebben az esetben is. Nézzük meg a megoldását![/size]

[size=85]A szerkesztés áttekintése alapján nyilvánvalónak tűnik, hogy bármely adott [i]f[/i] félkör esetén a [i]h [/i]félkör területe akkor maximális, ha [math]AB\parallel CD[/math]. Mint [url=https://www.geogebra.org/m/jvygdesq]korábban láttuk[/url], ekkor a két félkör területösszege és a [i]k[/i] területének aránya [math]\frac{1}{2}[/math].[br]Az is látható, hogy [/size][size=85]bármilyen kis sugarú adott [i]f[/i] félkörhöz bármilyen kis sugarú [i]h [/i]érintő félkör található.[br]A fentiekből következik, hogy [/size][size=85]ha egy adott [i]k[/i] körben [/size][size=85]az [i]AB [/i]és [i]CD[/i] húrok fölé emelt félkörök érintik egymást, és a kér félkör területösszegének és a [i]k[/i] területének aránya [math]\lambda[/math], akkor [math]\lambda\in[/math](0; 0,5].[/size]